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Exercice I.

On considère le couple(X;Y), dont la loi est donnée par le tableau suivant : H

HH H

HH H X

Y 1 2 4

1 3

10

1

10 0

2 1

10

1 4

1 20

4 0 1

20 3 20

1. DonnerX(Ω)etY(Ω).

2. Décomposer l’évènement [X = 1] suivant les valeurs prises parY.

3. En déduire P(X = 1).

4. Déterminer les lois marginales deXetY, puis les comparer.

5. Vérifier que E(X) = 2, puis calculer E(Y),V(X)etV(Y).

6. Déterminer la loi de la v.a.XY. 7. En déduire alors que Cov(X;Y) = 9

10. 8. Calculer σ(X;Y).

9. Interpréter le résultat.

Exercice II.

Etudier les couples(X;Y), dont les lois sont données par les tableaux suivants, avec pour objectif final le calcul deσ(X;Y):

1.

HH HH

HHH X

Y 2 4 5

1 1

6

1 15

1 20

3 1

10

1 5

2 15

6 1

30

1 20

1 5

2.

HH HH

HHH X

Y −3 −1 2 5

−2 0 0 1

12

1 4

1 0 1

8

1 8

1 12

4 1

4

1

12 0 0

Exercice III.

Calculer les sommes suivantes : 1. Sn= X

16i,j6n

(i+j) 2. Sn= X

16i<j6n

(i+ 4j) 3. Sn= X

16i,j6n

2ⁱ

3^2j+i 4. Sn= X

16i,j6n

i j

5. S =

+∞

X

i=0 +∞

X

j=0

1

3ⁱ4^j 6. S=

+∞

X

i=0 +∞

X

j=1

j

2^i+j 7. S=

+∞

X

i=1 +∞

X

j=1

3^j

2ⁱj! 8. S =

+∞

X

i=1 +∞

X

j=1

1 i(i+ 1)j!

Exercice IV.

SoitX₁etX₂indépendantes, de même loiG(p), avecp∈]0; 1[. On poseY =max(X₁, X₂)etZ =min(X₁, X₂).

1. DéterminerY(Ω)etZ(Ω).

2. Exprimer les évènements[Y 6y]et[Z > z]à l’aide d’évènements impliquant les v.a.X1etX2. 3. En déduire la fonction de répartitionFY etFZ.

4. En déduire les loi deX₁etX₂.

5. CalculerE(X₁)etV(X₁),E(X₂)etV(X₂).

Exercice V.

Soita∈R, etXetY deux v.a. telles que ∀(k, j)∈N², P([X=j]∩[Y =k]) = a 2^k+1j!. 1. Déterminera.

2. XetY sont-elles indépendantes ? 3. DéterminerCov(X, Y).

Exercice VI.

Même exercice que le précédent, avec cette fois des v.a.XetY de loiU([[1;n]]).

Exercice VII.

On considère une suite de lancers d’une pièce donnant Pile avec la probabilitép∈]0; 1[.

On appelle série toute succession de résultats identiques. On noteXla longueur de la première série, etY la longueur de la deuxième série.

Par exemple, si les premiers lancers ont donnéP P F F F F P, alorsX= 2etY = 4.

1. Déterminer la loi deX.

2. Pour (i, j) ∈ X(Ω)×Y(Ω), exprimer les évènements de la forme [X = i]∩[y = j], en utilisant des évènements élémentaires de la formeP_ketF_k.

3. En déduire la loi du couple(X, Y).

4. En déduire la loi marginale deY. 5. Déterminer la loi de la v.a.X+Y. Exercice VIII.

On dispose d’une pièce truquée pour laquelle pile apparaît avec probabilitép∈]0; 1[.

Un jeu consiste à lancer la pièce jusqu’à obtention de pile. On noteN le nombre de lancers nécessaires.

Ensuite, si le premier pile est apparu aun^elancer, on relance la piècenfois, et on compte le nombreXde pile obtenu au cours de cette seconde série de lancers.

1. Déterminer la loi du couple(N, X).

2. En déduire la loi deX. On admettra que ∀x∈]−1; 1[, ∀k∈N,

+∞

X

n=k

n k

x^n−k= 1 (1−x)^k+1

3. Montrer queXa même loi queBG, oùBetGsont indépendantes, etB ,→B(r),G ,→G(s), avecretsà déterminer.

Exercice IX.

Une urne contient2boules bleues etn−2boules rouges, toutes discernables.

On y effectuentirages sans remise. On appelleXetY les1^eret2^erangs de sortie d’une boule bleue.

1. DécrireΩ, et donner son cardinal.

2. Déterminer la loi du couple(X, Y), ainsi que les lois marginales.

3. Montrer queY a même loi quen+ 1−X.

4. CalculerE(X),E(Y),V(X),V(Y),Cov(X, Y).

Exercice X.

On joue à pile ou face. La probabilité d’obtenir pile estp∈]0; 1[. On poseq = 1−p.

On noteXetY les rangs respectifs d’apparition du premier et du deuxième pile.

1. Rappeler la loi deX.

2. Déterminer la loi du couple(X, Y).

3. En déduire la loi marginale deY.

4. XetY sont-elles indépendantes ? Justifier.

5. Soity>2. Déterminer la loi conditionnelle deXsachant[Y =y], ie ∀x>1, P_[Y=y](X =x).

6. Soitx>1. Déterminer la loi conditionnelle deY −xsachant[X=x]. Interpréter le résultat.

Exercice XI.

SoitX ,→U([[−1; 1]]), etY =X².

1. XetY sont-elles indépendantes ? Justifier.

2. CalculerCov(X, Y).

Exercice XII.

On considère deux v.a.XetY définies sur le même espace de probabilité avecXsuivant une loi de Bernoulli de paramètrepetY suivant une loi uniforme sur[[−1; 1]]. On suppose de plus que la loi deY conditionnée par [X= 1]est une loi de Bernoulli de paramètre1−p.

1. Déterminer la loi du couple(X, Y).

2. Calculer la covariance du couple(X, Y).

Exercice XIII.

Soitn>2. On considère un urne contenantkboules numérotéeskpour toutk∈[[1;n]].

1. On tire une boule dans cette urne et on noteXla variable aléatoire égale au numéro de cette boule.

Déterminer la loi deXet son espérance.

2. On effectue maintenant 2 tirages succesifs et sans remise dans cette urne. On noteX1(resp.X2) le numéro de la première (resp. deuxième) boule tirée.

a. Déterminer la loi du couple(X₁, X₂).

b. Les variablesX1etX2sont-elles indépendantes ? Exercice XIV.

1. SoientXetY deux v.a. indépendantes définies sur le même espace de probabilité telles queXsuit une loi de Poisson de paramètreλ > 0etY une loi de Bernouilli de paramètrep∈]0,1[. Déterminer la loi de XY.

2. SoientUetV deux v.a. indépendantes définies sur le même espace de probabilité suivant toutes les deux la loi uniforme sur[[1;n]]avecn∈N^∗.

a. Calculer les probabilitésP(X =Y),P(X>Y).

b. Déterminer la loi deZ =max(U, V).

c. Que vaut(X+Y)(ω)?

d. Montrer que :∀k∈[[2;n+ 1]], P(X+Y =k) = k−1 n² . e. Montrer que :∀k∈[[n+ 2; 2n]], P(X+Y =k) = 2n−k+ 1

n² . Exercice XV.

Montrer que deux variables de Bernoulli sont indépendantes si, et seulement si, leur covariance est nulle.

Exercice XVI.

1. Calculs préliminaires

a. On considère deux nombres entiers naturelsqetntels quen>q. En raisonnant par récurrence sur n, établir la formule suivante :

n

X

k=q

k q

=

n+ 1 q+ 1

b. En faisantq= 2etq = 3, en déduire une expression factorisée des sommes suivantes :

n

X

k=2

k(k−1) et

n

X

k=3

k(k−1)(k−2).

c. Montrer que :

∀n>2,

n

X

i=1 n

X

j=1,j6=i

ij=

n(n+ 1) 2

2

−n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

On considère dans toute la suite de cette partie un nombre entiern > 2 et une urne contenantn jetons numérotés de1àn.

On extrait de cette urne successivement et sans remise 2 jetons et on désigne alors par :

— N₁la variable aléatoire indiquant le numéro du premier jeton tiré.

— N₂la variable aléatoire indiquant le numéro du second jeton tiré.

On noteE(N1)etV(N1),E(N2)etV(N2),E(X)etV(X),E(Y)etV(Y)les espérances et variances des quatre variables aléatoiresN₁, N₂.

2. Lois conjointe et marginales des variables aléatoiresN₁etN₂.

a. Déterminer les probabilitésP(N₁=i)pour16i6netP_[N1=i](N₂ =j)pour16j6n, j6=i.

En déduireP(N2 =j)pour16j6n, puis comparer les lois deN1etN2. b. Calculer les espérancesE(N1)etE(N2), les variancesV(N1)etV(N2).

c. Déterminer les probabilitésP(N₁ =i∩N₂=j)pour16i6net16j6nen distinguant les deux casi=jeti6=jet en déduire que E(N1N2) = (n+ 1)(3n+ 2)

12 .

En déduire la covariance et le coefficient de corrélation linéaire deN1etN2. d. Exprimer enfin sous forme factorisée la varianceV(N1+N2).

Exercice XVII.

Soitpun réel de]0,1[etq = 1−p. SoitX1 etX2 deux variables indépendantes de même loi géométrique de paramètrep(d’espérance1/p).

on pose : Y = X₁ −X₂, T = max (X₁, X₂) et Z = min (X₁, X₂). On rappelle que T +Z = X₁ +X₂ et T−Z =|X₁−X2|=|Y|.

1. a. Rappeler sans démonstration les valeurs respectives deV (X1) et de P([X16k]), pour toutkde X₁(Ω).

b. CalculerE(X₁+X₂),V (X₁+X₂),E(X₁−X₂),V (X₁−X₂).

c. Etablir la relation :P([X1 =X2]) = _1+q^p

2. Montrer queZsuit la loi géométrique de paramètre1−q². En déduireE(Z),V (Z)etE(T).

3. a. On admet queZ et T −Z sont indépendantes, calculer Cov(Z, T). Les variablesZ et T sont-elles indépendantes ?

b. Calculer en fonction deq, le coefficient de corrélation linéaireρdeZetT. c. Déterminer la loi de probabilité du couple(Z, T).

d. Déterminer pour toutjdeN^∗, la loi de probabilité conditionnelle deTsachant l’évènement[Z =j].

e. Soitjun élément deN^∗. On suppose qu’il existe une variable aléatoireDjà valeur dansN^∗, dont la loi de probabilité est la loi conditionnelle deT sachant l’évènement[Z =j]. CalculerE(D_j).

Exercice XVIII.

On lance une pièce équilibrée. (la probabilité d’obtenir "pile" et celle d’obtenir "face" étant toutes deux égales à

1

2 ) et on noteZ la variable aléatoire égale au rang du lancer où l’on obtient le premier "pile".

Après cette série de lancers, siZ a pris la valeurk(k∈N^∗), on remplit une urne dekboules numérotées 1, 2,· · · , k,puis on extrait au hasard une boule de cette urne.

On noteXla variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée après la procédure décrite ci-dessus.

1. Etablir la convergence de la série de terme général ¹_k ¹₂k

(k∈N^∗).

2. Rappeler la loi deZ ainsi que son espérance et sa variance.

3. a. Pour tout couple(i, k)deN^∗×N^∗,déterminer la probabilitéP_[Z=k](X =i) b. En déduire que∀i∈N^∗,P (X =i) =

+∞

P

k=i 1 k

1 2

k

.

c. On admet dans cette question que

+∞

P

i=1 +∞

P

k=i

=

+∞

P

k=1 k

P

i=1

. Vérifier que

+∞

P

i=1

P (X =i) = 1 4. a. Montrer que, pour tout entier naturelinon nul, on a :iP (X =i)6 ¹₂i−1

b. En déduire queXpossède une espérance.

c. Montrer, en admettant qu’il est licite de permuter les symbolesP

, queE(X) = 3 2. Exercice XIX.

Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. Les proportions respectives de ces boules sontppour les blanches,qpour les noires etrpour les rouges (p+q+r = 1)

On fait dans cette urne des tirages successifs indépendants numérotés 1, 2, ... etc. Ces tirages sont faits avec remise de la boule tirée. Les proportions des boules restent ainsi les mêmes au cours de l’expérience.

Toutes les variables aléatoires sont définies dans un espace de probabilité(Ω,A, P).

1. On noteX₁la variable aléatoire représentant le numéro du tirage auquel une boule blanche sort pour la prenrière fois. Trouver la loi de probabilité deX₁, puis calculer son espérance et sa variance.

2. On noteX2la variable aléatoire représentant le numéro du deuxième tirage d’une boule blanche.

a. Trouver, pour tout couple d’entiers strictement positifs(k, l), la probabilité de l’événement [X1 = k]∩[X₂=k+l]. En déduire la loi de probabilité deX₂.

b. Montrer que la variableU₂ =X₂−X₁est indépendante deX₁et qu’elle a la même loi de probabilité.

En déduire l’espérance et la variance deX2.

3. On noteW la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges tirées avant l’obtention de la première boule blanche. Pour tout couple(k, l) deN^× ×N, déterminer la probabilité conditionnelle de l’événement[W =l]sachant queX1 =k. Quelle est la loi conditionnelle deW sachantX1 =k?

4. On noteY1 la variable aléatoire représentant le numéro du tirage auquel une boule noire sort pour la première fois.

a. Trouver la loi de probabilité du couple(X₁, Y₁). Les variables aléatoiresX₁etY₁sont elles indépen- dantes ?

b. On se place, pour cette question, dans le cas particulier oùr = 0(c’est à dire qu’il n’y a pas de boule rouge). Calculer alors la covariance deX₁etY₁.

5. Soit, pournentier strictement positif,Z_n la variable aléatoire qui prend la valeur+1si aun^{i`eme</sup> tirage une boule blanche est tirée,−1si aun<sup>i`eme}tirage une boule noire est tirée, 0 si aun^i`eme tirage une boule rouge est tirée. On noteS_n=Z₁+· · ·+Z_n.

a. Trouver la loi de probabilité deS₁. Calculer son espérance et sa variance ; en déduire l’espérance et la variance deSnpour toutn>1.

b. Soittun réel strictement positif. On poseVn=t^Sn. Trouver la loi de probabilité de la variableV1 et calculer son espérance.

c. En déduire l’espérance deV_n. Exercice XX.

Une secrétaire effectuenappels téléphoniques versncorrespondants distincts, avecn>2. Pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé estp∈]0,1[et la probabilité de ne pas l’obtenir estq= 1−p.

1. SoitXle nombre de correspondants obtenus lors de cesnappels. Quelle est la loi deX? CalculerE(X) etV(X).

2. Après ces n recherches, la secrétaire demande une deuxième fois chacun des n− X correspondants qu’elle n’a pas obtenus la première fois. SoitY le nombre de correspondants obtenus dans la deuxième série d’appels, etZ =X+Y le nombre total de correspondants obtenus.

a. Quelles sont les valeurs prises parZ?

b. Calculer p₀=P(Z = 0),p₁=P(Z = 1). Montrer quep₁ =npq²ⁿ⁻²(1 +q).

c. Calculer P_[X=k](Y =l) pourk∈[[0, n]]etl∈[[0, n−k]].

d. Démontrer P(Z =m) =

m

X

k=0

P([X=k]∩[Y =m−k]).

e. Vérifier que n

k

n−k m−k

= n

m m

k

. En déduire que P(Z =m) = n

m

(p(1 +q))^m(q²)^n−m. f. Montrer quep(1 +q) = 1−q²et reconnaitre la loi suivie parZ

Exercice XXI.

On suppose que le nombre N de colis expédiés à l’étranger chaque jour par une entreprise suit une loi de Poisson de paramètreλ. Ces colis sont expédiés indépendamment les uns des autres.

La probabilité pour qu’un colis expédié à l’étranger soit détérioré est égale àt.

On s’intéresse aux colis expédiés à l’étranger un jour donné :

— N est la variable aléatoire égale au nombre de colis expédiés

— Xest la variable aléatoire égale au nombre de colis détériorés

— Y est la variable aléatoire égale au nombre de colis en bon état On a doncX+Y =N.

1. Donner, en justifiant, ∀(n;k)∈N², la probabilité conditionnelle P_[N=n](X =k).

2. En déduire que X ,→P(λt).

3. En suivant une méthode similaire àX, déterminer la loi deY.

4. Les variablesXetY sont-elles, à priori et sans calcul, indépendantes ?

5. Calculer les probabilités P(X=k)P(Y =q) et P([X=k]∩[Y =q]). Conclusion ? Exercice XXII.

Un péage comportemguichets numérotés de1àm.

SoitN la variable aléatoire égale au nombre de voitures arrivant au péage en 1 heure.

On suppose queN suit une loi de Poisson de paramètreλ >0.

On suppose de plus que les conducteurs choisissent leur file au hasard et que ces choix sont indépendants.

SoitXla variable aléatoire égale au nombre de voitures se présentant au guichet numéro1.

1. Pour 06k6n, calculer P_[N=n](X=k).

2. Justifier que P(X =k) =

+∞

X

n=k

P_[N=n](X=k)P(N =n).

3. Montrer que P(X=k) =e^−λ 1

m k

λ^k k!

+∞

X

n=0

1 n!

λ

1− 1

m n

. 4. En déduire la loi de probabilité deX(on retrouvera une loi usuelle).

5. Donner sans calcul les valeurs deE(X)et deV(X).

Exercice XXIII.

Soit(X_n)_n>1 une suite de v.a. indépendantes de même loiB(p), avecp∈]0; 1[.

On pose ∀n>1, Yn=XnXn+1. 1. Déterminer la loi deYn.

2. CalculerCov(Yn, Yn+1), puisCov(Yi, Yj)pourietjentiers naturels non nuls quelconques.

3. CalculerV(

n

X

i=1

Y_i).

Exercice XXIV.

Soit(X_n)n∈N^∗ une suite de v.a. discrètes indépendantes ayant toutes même espérancemet même varianceσ². On pose, pourn∈N^∗, Zn=

n

X

k=1

XkXk+1. 1. Justifier l’existence et calculerE(Z_n).

2. CalculerV(X_kX_k+1).

3. Soitietjdeux entiers tels que 16i < j−1.

Déterminer Cov(XiXi+1, XjXj+1).

4. CalculerCov(XkXk+1, Xk+1Xk+2).

5. En déduireV(Z_n).

Sujets récents

Exercice XXV. (ESSEC 2001)

SoitXetY deux v.a. admettant un moment d’ordre 2.

1. Covariance des variables aléatoiresXetY

a. ExprimerCov(λX+Y, λX+Y)en fonction deV(λX+Y)et en déduire la formule suivante pour tout nombre réelλ:

V(λX+Y) =λ²V(X) + 2λCov(X, Y) +V(Y).

b. En déduire que(Cov(X, Y))² 6V(X)V(Y).

A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l’égalité((Cov(X, Y))² =V(X)V(Y)? 2. Coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoiresXetY.

On suppose dans cette question les variancesV(X)etV(Y)deXetY strictement positives.

a. Exprimerρ(X, Y)en fonction deCov(X, Y)et des écarts-typesσ(X)etσ(Y)des variables aléatoires XetY et montrer queρappartient à[−1,+1].

Préciser de plus à quelle condition nécessaire et suffisanteρest égal à−1ou+1.

b. Donner la valeur deρlorsque les variables aléatoiresXetY sont indépendantes.

Exercice XXVI. (EDHEC 2018)

On dispose de trois pièces : une pièce numérotée0, pour laquelle la probabilité d’obtenir "pile" vaut 1

2 et celle d’obtenir "face" vaut également 1

2, une pièce numérotée1, donnant "pile" à coup sûr et une troisième pièce, numérotée2, donnant "face" à coup sûr.

On choisit l’une de ces pièces au hasard et on la lance indéfiniment.

Pour toutide{0,1,2}, on noteAil’événement : « on choisit la pièce numérotéei».

Pourk∈N^∗, on noteP_kl’événement : « on obtient "pile" au lancer numérok» et on poseF_k=P_k.

On considère la variable aléatoireX, égale au rang d’apparition du premier "pile" et la variable aléatoire Y , égale au rang d’apparition du premier "face". On convient de donner àX la valeur0si l’on n’obtient jamais

"pile" et de donner àY la valeur0si l’on n’obtient jamais "face".

1. a. DéterminerP(X = 1).

b. Montrer que :∀n>2, P(X =n) = 1 3

1 2

n

. c. En déduire la valeur deP(X= 0)

2. Montrer queXadmet une espérance et la calculer .

3. Montrer queX(X−1)possède une espérance. En déduire queX possède une variance et vérifier que V(X) = 4

3.

4. Justifier queY suit la même loi queX.

5. a. Montrer que, pour tout entierjsupérieur ou égal à 2,P([X = 1]∩[Y =j]) =P([Y =j]).

b. Montrer que, pour tout entierisupérieur ou égal à 2,P([X =i]∩[Y = 1]) =P([X =i]).

6. Loi deX+Y.

a. Expliquer pourquoiX+Y prend toutes les valeurs entières positives sauf 0 et 2.

b. Montrer queP(X+Y = 1) = 2 3.

c. Justifier que , pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on a :

(X+Y =n) = ([X = 1]∩[Y =n−1])∪([Y = 1]∩[X=n−1]) d. En déduire que l’on a, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3 :

P(X+Y =n) = 2 3

1 2

n−1

7. On rappelle que , pour tout entier naturelm, l’instructiongrand(1,1,’uin’,0,m)renvoie un entier aléatoire compris entre0etm(ceci de façon équiprobable).

On décide de coder "pile" par1et "face" par0.

a. Compléter le scriptScilab suivant pour qu’il permette le calcul et l’affichage de la valeur prise par la variable aléatoireXlors de l’expérience réalisée dans cet exercice.

piece = grand(1,1,"uin",- - -,- - -) x=1

if piece==0

then lancer=grand(1,1,"uin",- - -,- - -) while lancer==0

lancer=- - - x=- - - end else

if piece==1 then x=- - - end

end disp(x)

b. Justifier que le cas où l’on joue avec la pièce numérotée 2 ne soit pas pris en compte dans le script précédent.

Exercice XXVII. (EML 2018)

On dispose d’une pièce de monnaie amenant Pile avec la probabilité 2

3 et Face avec la probabilité 1 3. Partie I : étude d’une première variable aléatoire

On effectue une succession de lancers avec cette pièce et on définit la variable aléatoireXprenant la valeur du nombre de Face obtenus avant l’obtention du deuxième Pile.

1. a. Décrire les événements[X= 0],[X= 1],[X= 2]puis calculer leurs probabilités.

b. Montrer :∀n∈N, P(X=n) = (n+ 1) 4 3ⁿ⁺². Partie II : étude d’une expérience en deux étapes

On effectue une succession de lancers avec la pièce précédente jusqu’à l’obtention du deuxième Pile ; puis en fonction du nombrende Face obtenus, on placen+ 1boules dans une urne, les boules étant numérotées de 0 ànet indiscernables au toucher, et enfin on pioche au hasard une boule dans cette urne.

On note toujoursXla variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus, et on noteU la variable aléatoire prenant la valeur du numéro de la boule obtenue. On poseV =X−U.

1. a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoireU. b. Déterminer, pour toutndeN, la loi conditionnelle deU sachant[X=n].

c. En déduire, pour toutkdeN:

P(U =k) =

+∞

X

n=k

1

n+ 1P(X=n) puis P(U =k) = 2 3^k+1. d. Montrer queU admet une espérance et une variance et les calculer.

2. a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variableV.

b. Déterminer, pour toutndeN, la loi conditionnelle deV sachant[X=n].

c. En déduire la loi deV.

3. Montrer que les variables aléatoiresU etV sont indépendantes.

4. Que vautCov(U, V)? En déduireCov(X, U).

Partie III : étude d’un jeu

Dans cette partie,pdésigne un réel de]0; 1[.

Deux individusAetBs’affrontent dans un jeu de Pile ou Face dont les règles sont les suivantes :

— le joueurAdispose d’une pièce amenant Pile avec la probabilité2

3et lance cette pièce jusqu’à l’obtention du deuxième Pile ; on noteXla variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus ;

— le joueur B dispose d’une autre pièce amenant Pile avec la probabilité p et lance cette pièce jusqu’à l’obtention d’un Pile ; on noteY la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus ;

— Le joueurAgagne si son nombre de Face obtenus est inférieur ou égal à celui deB; sinon c’est le joueur Bqui gagne.

On dit que le jeu est équilibré lorsque les joueursAetBont la même probabilité de gagner.

1. Simulation informatique

a. écrire une fonction Scilab d’en-têtefunction x = simule_X()qui simule la variable aléatoireX.

b. On suppose que l’on dispose d’une fonctionsimule_Yqui, prenant en argument un réelpde]0; 1[, simule la variable aléatoireY. Expliquer ce que renvoie la fonction suivante :

c. On trace, en fonction dep, une estimation de la probabilité queA gagne et on obtient le graphe suivant :

à la vue de ce graphe, conjecturer une valeur deppour lequel le jeu serait équilibré.

2. étude de la variable aléatoireY

On noteZ la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de lancers effectués par le joueurB.

a. Reconnaître la loi deZet préciser son(ses) paramètre(s), son espérance et sa variance.

b. ExprimerY à l’aide deZ et en déduire l’existence de l’espérance et de la variance deY et préciser leurs valeurs.

c. Montrer :∀n∈N, P(Y >n) = (1−p)ⁿ. 3. a. Montrer :P(X6Y) =P+∞

n=0P(X=n)P(Y 6n).

b. Déduire des résultats précédents :P(X6Y) = 4 (2 +p)². c. Déterminer la valeur deppour laquelle le jeu est équilibré.

Exercice XXVIII. (EML 2013)

Soitn>2. On considère une urneU contenantnboules numérotées de 1 ànet indiscernables au toucher.

On effectue une suite de tirages d’une boule avec remise de la boule dans l’urneU.

Soitkun entier supérieur ou égal à 1. Pour touti ∈ [[1;n]], on noteXi la variable aléatoire égale au nombre d’obtentions de la boule numéroiau cours deskpremiers tirages.

1. Soiti∈[[1;n]]. Donner la loi deXi. Rappeler l’espérance et la variance deXi. 2. Les variables aléatoiresX₁, X₂, . . . , X_nsont-elles indépendantes ?

3. Soit(i, j)∈[[1;n]]²tel quei6=j.

a. Déterminer la loi de la variableXi+Xj. Rappeler la variance deXi+Xj. b. En déduire la covariance du couple(X_i, X_j).

Exercice XXIX. (EML 2009)

Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches est p et la proportion de boules noires estq. Ainsi, on a 0< p <1, 0< q <1 et p+q= 1.

Partie I : Tirages avec arrêt dès qu’une boule noire a été obtenue

Dans cette partie, on effectue des tirages avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu une boule noire.

On noteT la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués etU la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

1. Reconnaître la loi deT. Pourk∈N^∗, donnerP (T =k)et rappeler l’espérance et la variance deT.

2. En déduire queU admet une espérance et une variance. DéterminerE(U)etV (U).

Partie II : Tirages avec arrêt dès qu’une boule blanche et une boule noire ont été obtenues

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu au moins une boule blanche et au moins une boule noire.

On noteXla variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

On noteY ( respZ) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches ( resp noires ) obtenues.

Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l’événement(Y = 1)∪(Z= 1)est égale à1.

Pouri∈N^∗, on note B_i ={lai-ème boule tirée est blanche}, et N_i =B_i. 1. a. Montrer, pour tout entierk>2 : P (X =k) =q p^k−1+p q^k−1.

b. Vérifier :

+∞

X

k=2

P (X=k) = 1.

c. Montrer que la variable aléatoireXadmet une espérance et que :E(X) = 1 p+ 1

q −1.

2. a. Pour tout entierk>2, déterminerP ((X=k)∩(Y = 1)) (On distinguera les cask= 2etk>3.) b. En déduire: P (Y = 1) =q(1 +p).

c. Déterminer la loi de la variable aléatoireY.

On admet que l’espérance deY existe et que :E(Y) = 1

q 1−p+p² . 3. Donner la loi deZ et son espérance.

4. Montrer que les variables aléatoiresY Z etX−1sont égales.

5. Montrer que le couple(Y, Z) admet une covariance et exprimerCov(Y, Z)à l’aide de E(X), E(Y) et E(Z).

Exercice XXX. (HEC 2018) Dans tout le problème :

• toutes les variables aléatoires introduites sont supposées définies sur un même espace probabilisé(Ω,A, P);

• on notenun entier supérieur ou égal à 2.

L’objet du problème est l’étude de sommes de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli de même paramètre, mais qui ne sont pas nécessairement indépendantes.

Les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

Partie I. Valeurs possibles du coefficient de corrélation linéaire dans divers schémas de Bernoulli

Dans cette partie, on considère des variables aléatoires X1, X2, . . . , Xn suivant chacune la même loi de Bernoulli de paramètrepavec0< p <1, c’est à dire : ∀k∈[[1, n]], P([X_k= 1]) =petP([X_k= 0]) = 1−p.

On suppose que pour tout couple(k, `)∈[[1, n]]<sup>2</sup> aveck6=`, le coefficient de corrélation linéaire des variablesXketX`

est le même ; on noterce coefficient. On a donc :

∀(k, `)∈[[1, n]]<sup>2</sup>, Cov(X<sub>k</sub>, X<sub>`</sub>) pV(X_k)V(X_`) =







1 sik=` r sik6=`

1. a. Dans les cas(i)et(ii)suivants, calculer la valeur deret exprimer la variance de la variable aléatoire

n

X

k=1

X_ken fonction denetp.

i. Les variables aléatoiresX1, X2, . . . , Xnsont mutuellement indépendantes.

ii. Les variables aléatoiresX1, X2, . . . , Xnsont toutes égales.

De plus, préciser la loi de

n

X

k=1

X_kdans chacun des deux cas précédents.

b. Montrer que pour toutk ∈ [[1, n]], la variance de la variable aléatoire

n

X

i=1

Xi est donnée par la for- mule :

V

n

X

i=1

Xi

!

=kp(1−p)(1 + (k−1)r)

c. En déduire que le coefficientrest au moins égal à − 1 n−1. 2. On suppose dans cette question quenest au moins égal à 2.

a. Montrer querest égal à −1si et seulement si on a :P([X1 = 1]∩[X2 = 1]) =p(2p−1).

b. Que vaut alorsP([X₁= 0]∩[X₂= 0])?

c. En déduire que le coefficientrne peut-être égal à −1que lorsquep= 1

2 etP([X1+X2= 1]) = 1.

3. On suppose dans cette question quenest supérieur ou égal à 3et queP " _n

X

k=1

X_k= 1

#!

= 1.

a. Exprimer les valeurs depetren fonction den.

b. Déterminer lesn-uplets(x₁, x₂, . . . , x_n)∈ {0,1}ⁿpour lesquels la probabilitéP

n

\

k=1

[X_k=x_k]

! est strictement positive et la calculer.

Partie II. Lois bêtas-binomiales 1. Soit(x, y)∈R².

a. Justifier que l’intégrale Z ¹

2

0

t^x−1(1−t)^y−1dtest convergente si seulement six >0.

b. Pour tout réelεtel que0< ε < 1

2, établir à l’aide d’un changement de variable affine, l’égalité : Z 1−ε

1 2

t^x−1(1−t)^y−1 dt= Z ¹

2

ε

t^y−1(1−t)^x−1dt

c. En déduire que l’intégrale Z 1

0

t^x−1(1−t)^y−1dtest convergente si et seulement six >0ety >0.

Dans toute la suite du problème, on pose : ∀(x, y)∈(R^+∗)², B(x, y) = Z ₁

0

t^x−1(1−t)^y−1dt.

1. Soitxetydes réels strictement positifs.

a. A l’aide d’une intégration par parties, établir la relation : B(x+ 1, y) = x

y ×B(x, y+ 1).

b. En déduire l’égalité : B(x, y+ 1) = y

x+y ×B(x, y).

2. Pour tout réelz, soit((z)^[m])m∈Nla suite définie par :(z)^[0] = 1et∀m∈N, (z)^[m+1]= (z+m)×(z)^[m]. (par exemple, pour toutm∈N, on a(1)^[m]=m!)

Établir pour tout(x, y)∈(R^+∗)²et pour tout couple(k, `)d’entiers tels que0≤k≤`, la relation : B(x+k, y+`−k) = (x)<sup>[k]</sup>×(y)<sup>[`−k]</sup>

(x+y)^[`] ×B(x, y) 3. Soitaetbdes réels strictement positifs.

Pourk∈[[0, n]], on pose : p_k = n

k

(a)^[k]×(b)^[n−k]

(a+b)^[n] .

a. A l’aide de la relation obtenue dans la question 6, montrer que

n

X

k=0

p_k= 1.

On dit qu’une variable aléatoireS suit une loi bêta-binomialeB(n;a, b)siS(Ω) = [[0, n]]et si :

∀k∈[[0, n]], P(S =k) = n

k

(a)^[k]×(b)^[n−k]

(a+b)^[n]

a. Reconnaître la loiB(n; 1,1).

b. Montrer que l’espérance d’une variable aléatoireSqui suit la loiB(n;a, b)est égale à na a+b. Partie III. Un possible dans le cas oùn= 2

Soitaetbdes réels strictement positifs etX₁etX₂deux variables aléatoires à valeurs dans{0,1}telles que :

∀(x₁, x2)∈ {0,1}² P([X1 =x1]∩[X2 =x2]) = B(a+x1+x2, b+ 2−x1−x2) B(a, b)

1. a. Montrer que les deux variablesX₁etX₂suivent la même loi de Bernoulli.

b. Montrer que la variable aléatoireX₁+X₂suit la loi bêta-binomialeB(2;a, b).

c. Établir la relation :P_[X1=1]([X₂ = 1]) = a+ 1 a+b+ 1.

2. La fonctionScilabsuivante dont le script est incomplet (lignes (5) et (6)), effectue une simulation des deux variablesX₁etX₂qu’elle place dans un vecteur ligne à deux composantes.

(1) function x=randbetabin(a,b) (2) x=zeros(1,2);

(3) u=(a+b)*rand();

(4) v=(a+b+1)*rand();

(5) if (u<a) then x(1,1)=1; if ... then x(1,2)=1;end;

(6) else if ... then x(1,2)=1;end;

(7) end;

(8) endfunction

a. Préciser la loi simulée par la variableude la ligne (3).

b. Compléter les lignes (5) et (6).

3. a. Calculer le coefficient de corrélation linéaire deX1etX2.

b. Soit(p, r)un couple de réels vérifiant0< p <1et0< r <1.

Expliquer comment utiliser la fonctionrandbetabinpour simuler deux variables aléatoires sui- vant une même loi de Bernoulli de paramètrepet dont le coefficient de corrélation linéaire est égal à r.