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Chapitre n°15
Objectifs :
Niveau C15.
a
1 Savoir démontrer que deux droites sont orthogonales ou non, dans
l'espace.
C15.
b
1 Démontrer qu'un plan est généré par un point et deux vecteurs, et
calculer un vecteur normal à un plan.
C15.
c
1 Déterminer l'équation cartésienne d'un plan.
C15.
d
1 Déterminer l'intersection d'un plan et d'une droite.
Activité n°1
Partie A : Rappels.
1. ABCD est un rectangle tel que AB=4 et AD=1,5. Soit I le milieu de [AB] et J le point tel que 4⃗DJ = ⃗DC . Calculer :
a. ⃗AB .⃗BD
...
...…
b. ⃗AB .⃗JI
...
...
...…
c. ⃗BC .⃗JI
...
...…
d. ⃗AC .⃗JI
...
...…
2. ABCD est un parallélogramme tel que AB=4, AD=2 et AC=5.
a. Calculer ⃗AB .⃗AD .
...
...
...
...…
b. En déduire une mesure de BAD au dixième de degré près.^
... ...
... ...
... ...
...
Partie B : Produit scalaire dans l'espace
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On considère un cube d'arête 1. O est le centre du cube. I,J et K sont les milieux respectifs des arêtes [CD], [AD] et [EH].
1. On étudie le produit scalaire
⃗AB .⃗AC :
a. Mettre en évidence un plan contenant des représentants des vecteurs donnés.
…...…
…...…
…...…
…...…
…...…
…...…
…...…
…...…
…...…
b. Calculer le produit scalaire dans ce plan.
…...
...
...
...
2. En suivant la même méthode, calculer les produits scalaires suivants : a. ⃗BD .⃗BH b. ⃗AB .⃗AG c. ⃗OB .OH⃗ d. ⃗FB .⃗AK e. ⃗IJ .⃗FH
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. On considère le repère (B, ⃗BC , ⃗BA , ⃗BF ).
a. Donner les coordonnées de ⃗BD (xyzDDD) et de ⃗BH (xyzHHH)dans ce repère.
...
...
...
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...
...
b. Calculer xDxH + yDyH + zDzH. Comparer au 2.a.
...
...
...
...
c. Utiliser la même méthode pour retrouver ⃗AB .⃗AG
...
...
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...
...
...
...
...
...
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Cours n°1
I) Produit scalaire dans l'espace.
Définition n°1
Le produit scalaire de deux vecteurs ⃗u et ⃗v dans l'espace est leur produit scalaire dans un plan les contenant.
Rappel n°1
Les formules connues dans le plan restent valables dans l'espace : 1.⃗u .⃗v = ||⃗u ||×||⃗v ||×...
2. ⃗u .⃗v = ⃗u .⃗v1 où ⃗v1 est …. …... …... de ⃗v sur une droite dirigée par ⃗u .
3.⃗u .⃗v =1
2 ( ||⃗u ||2+ ... – …...)
4.⃗u .⃗v =1
2 ( ||⃗u + ⃗v ||2 – ... – ...) Rappel n°2
⃗u .⃗v =0 <=> …... ou …... ou …...
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Propriété n°1 : expression analytique du produit scalaire (admise)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère deux vecteurs ⃗u (xyzuuu) et ⃗v (xyzvvv) . Alors ||⃗u ||=√xu2+yu2+zu2 et ⃗u .⃗v =xuxv + yuyv + zuzv .
Exemple n°1
Dans un repère orthonormé, (d1) et (d2) deux droites de représentations paramétriques {zy=−5−7x==21++2ttt
, t ∈ R et {y=−x=z=t51−+t4t
, t ∈ R.
Démontrer que (d1) et (d2) sont orthogonales.
...
...………...
...
...………...
...
...………...
...
...………...
...
...………...
...
...………...
...
...………...
...
...………...
Exemple n°2
ABCDEFGH est un cube d'arête 1 unité. I est le centre
de la face EFGH.
On se place dans le repère orthonormé (A ; ⃗AB , ⃗AD ,
⃗AE ). Déterminer α= IBF^ et β= BID^ .
...…
...
…...…
...…...….………
...…
...…
...…
...…
...
...
...……….
Propriété n°2 : Propriétés algébriques (admises)
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Soient ⃗u , ⃗v et w trois vecteurs, et ⃗ λ un réel. Alors : 1. ⃗u .( ⃗v + ⃗w ) = ...
2. ⃗u .(λ⃗v ) = …...
3. (⃗u +⃗v )2 = …...
4. (⃗u – ⃗v )2 = …...
5. (⃗u +⃗v ).(⃗u – ⃗v ) = …...
Exemple n°3
On reprend le cube de l'exemple n°2. Calculer ⃗IB .⃗ID
...
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Se tester n°1 - C15_1 (/3)
Objectifs :
Niveau
C15.a 1 Savoir démontrer que deux droites sont orthogonales ou non, dans l'espace.
Ex.1
Dans un repère orthonormé, (d1) et (d2) deux droites de représentations paramétriques {z=−5−7yx==21−+ttt
, t ∈ R et {y=−xz==111−−t 't '8t '
, t' ∈ R.
[vd1:0.5;vd2:0.5;ps:0.5;c:0.5;c:1](d1) et (d2) sont-elles orthogonales ?
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Indices et résultats
Voir exemples du cours.
Interrogation n°1 Objectifs :
C15.a_Niv1 : Savoir démontrer que deux droites sont orthogonales ou non, dans l'espace.
Exercice n°1
Ex.1 p.274
Exercice n°2
Ex.6 p.274
Exercice n°3
Ex.7 p.274
Exercice n°4
Ex.9 p.274
Cours n°2
II) Vecteur normal à un plan Définition n°2
Deux vecteurs de l'espace sont dit …... si leur produit scalaire vaut 0.
Définition n°3
Un vecteur ⃗n est dit normal à un plan (p) s'il est non nul et orthogonal à tous les v... c... dans (p).
Propriété n°3 (admise)
Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan, alors c'est un vecteur …... à ce plan.
Propriété n°4
Une droite (d) est orthogonale à un plan (p) si et seulement si un vecteur directeur de (d) est …... à (p).
Démonstration
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(d) est orthogonale à un plan (p) si et seulement si (d) est orthogonale à deux droites sécantes de (p) , i.e. si et seulement un vecteur directeur de (d) est orthogonale aux ………... ces deux droites.
Exemple n°4
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on considère les points A(1;1;1) et B(-2;0;2), ainsi que les vecteurs ⃗u (−121) et ⃗v (−−101) .
1. Démontrer que l'ensemble des points engendrés par A et les vecteurs ⃗u et ⃗v est un plan que l'on nommera (p).
...
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...…
2. Démontrer que ⃗AB est un vecteur normal à (p).
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Se tester n°2 - C15_2 (/4)
Objectifs :
Niveau
C15.b 1 Démontrer qu'un plan est généré par un point et deux vecteurs, et calculer un vecteur normal à un plan.
Ex.1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on considère les points A(1;2;1) et B(-2;0;2), ainsi que les vecteurs ⃗u (−112 ) et ⃗v (−1−10 ) .
1[1]. L'ensemble des points engendrés par A et les vecteurs ⃗u et ⃗v forment-ils un plan ?.
...
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...…
2[3]. ⃗AB est-il un vecteur normal à (p) ?
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Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°2 Objectifs :
C15.b_Niv1 : Démontrer qu'un plan est généré par un point et deux vecteurs, et calculer un vecteur normal à un plan.
Exercice n°5
Ex.21 p.274
Exercice n°6
Ex.22 p.274
Exercice n°7*
Ex.68 p.277
Cours n°3
III) Équation cartésienne de plan Propriété n°5 (admise)
1) Si ⃗n est un vecteur normal à un plan (p), tout vecteur colinéaire à ⃗n est
…...………
2) Deux plans sont parallèles si et seulement si tout vecteur normal de l'un
…...………….
3) Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal à l'un est orthogonal à un …...
………...
4) Soit ⃗n un vecteur non nul, A un point et (p) le plan passant par A et de vecteur normal ⃗n . Alors, un point M appartient à (p) si et seulement si
…...………..
Propriété n°6 (admise)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ),
soit M( x ; y ; z ) un point de cet espace. Alors :
Dire que M appartient à un plan (p) revient à dire qu'il existe a,b et c non tous nuls tels que ………...………..., où le vecteur ⃗n (abc) est un vecteur normal à (p).
Définition n°4
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on appelle équation cartésienne d'un plan (p) l'égalité …... où ⃗n (abc)
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est un vecteur normal à (p) et où (x;y;z) sont les coordonnées d'un point M
quelconque de (p).
Exemple n°5
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), déterminer une équation cartésienne du plan (p) passant par A(1;2 ;-3) et de vecteur normal ⃗n (−412) .
...
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...
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...
...…
(résultat : 4x – 2y + z – 11 = 0)
Exemple n°6
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), déterminer une équation cartésienne du plan (p) passant par A( 0 ; 1 ; 1 ) , B( -4 ; 2 ; 3 ) , et C( 4 ; -1 ; 1 ). ...
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Se tester n°3 - C15_3 (/7)
Objectifs :
Niveau
C15.c 1 Déterminer l'équation cartésienne d'un plan.
Ex.1 (/2) [0.5:n;1:d;0.5:c]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), déterminer une équation cartésienne du plan (p) passant par A(3;1;-5) et de vecteur normal ⃗n (4;-8;1)
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Ex.2 (/5) [0.5+0.5:AB+AC;0.5:n;2:a,,b,c;1:d;c:0.5]
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), déterminer une équation cartésienne du plan (p) passant par A( 0 ; 3 ; 8 ) , B( -6 ; 2 ; 3 ) , et C( 4 ; -1 ; 7 ).
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Indices et résultats
Voir exemples du cours.
Interrogation n°3 Objectifs :
C15.c_Niv1 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan.
Exercice n°8
Ex.26 p.275
Exercice n°9
Ex.33 p.275
Exercice n°10
Ex.78 p.277
Exercice n°11
Ex.84 p.277
Exercice n°12
Ex.79 p.277
Cours n°4
IV) Intersections
Exemple n°7 : intersection d'une droite et d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on considère la droite (d)
{y=2−zx==31+−52ttt
, t ∈ R et le plan (p) d'équation cartésienne
-6x – 2y – 2z +1 =0.
Déterminer la position relative de (d) et de (p). Si (d) n'est pas parallèle à (p), calculer les coordonnées du point d'intersection.
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Exemple n°8 : intersection d'une droite et d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on considère la droite (d)
{xy=z==512−tt
, t ∈ R et le plan (p) d'équation cartésienne
3x + 2z + 7 =0.
Déterminer la position relative de (d) et de (p). Si (d) n'est pas parallèle à (p), calculer les coordonnées du point d'intersection.
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Exemple n°9
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on considère les plans (p1)
et (p2) d'équations cartésiennes respectives x +2y + z – 1 = 0 et 2x – 3y – z + 2 = 0.
Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d'intersection de (p1) et (p2).
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Exemple n°10
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on considère les plans (p1)
et (p2) d'équations cartésiennes respectives 2x – 4y + 3z – 5 = 0 et -4x + 8y – 6z + 10 = 0.
Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d'intersection de (p1) et (p2).
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Se tester n°4 - C15_4 (/6)
Objectifs :
Niveau
C15.d 1 Déterminer l'intersection d'un plan et d'une droite.
Ex.1 : intersection d'une droite et d'un plan (/3)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on considère la droite (d)
{y=2zx=1=3+7–– t2tt
,t ∈ R et le plan (p) d'équation cartésienne
-x – 5y – 5z +3 =0.
[1]Déterminer la position relative de (d) et de (p). [2]Si (d) n'est pas parallèle à (p), calculer les coordonnées du point d'intersection.
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Ex.2 (/3)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k ), on considère les plans (p1)
et (p2) d'équations cartésiennes respectives x +3y + z – 1 = 0 et 8x – 3y – z + 2 = 0.
[1]+[2]Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d'intersection de (p1) et (p2).
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Indices et résultats Voir exemples du cours.
Interrogation n°4 Objectifs :
C15.d_Niv1 : Déterminer l'intersection d'un plan et d'une droite.
Exercice n°13
Ex.98 p.278
Exercice n°14
Ex.100 p.279
Exercice n°15
Ex.109 p.279
Exercice n°16
Ex.111 p.279
Exercice n°17*
Ex.119 p.280
Exercice n°18**
Sujet A p.287 en justifiant chaque réponse.
Exercice n°19**
Sujet C p.287
Exercice n°20***
Ex.153 p.289
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Indices et résultats
Ex.n°1 (Ex.1 p.274) : 15
Ex.n°2 (Ex.6 p.274) : a. a2 b. 0 c. -2a2 d. a2.
Ex.n°3 (Ex.7 p.274) : a. 10 b. 0 c. 3 d. 5 e. -18 f. 95
Ex.n°4 (Ex.9 p.274) : a. 3 b. 46 c. -6
Ex.n°5 (Ex.21 p.274) : ⃗n1 et ⃗n3
Ex.n°6 (Ex.22 p.274) : 1.0 pour les deux. 2.⃗n est un vecteur normal au plan (p). Ex.n°7* (Ex.68 p.277) : 1. ⃗SA .⃗AB = – 1
2 a2 et ⃗AH .⃗AB = 1
2 a2. 2. 0 donc les droites (SH)
et (AB) sont orthogonales.
Ex.n°8 (Ex.26 p.275) : A et B appartiennent à p, pas C. Ex.n°9 (Ex.33 p.275) : O(0;0;0) et ⃗n (0;1;0)
Ex.n°10 (Ex.78 p.277) : -3x + y + z + 1 = 0
Ex.n°11 (Ex.84 p.277) : 3. -x + 4y + 2z + 20 = 0
Ex.n°12 (Ex.79 p.277) : -5x – y + z – 7 = 0
Ex.n°13 (Ex.98 p.278) : 1. Non. 2. A(3 ;-5;15). Ex.n°14 (Ex.100 p.279) : A(13 ;-4;5)
Ex.n°15 (Ex.109 p.279) : 2. {xy=−=−z24=t11++1234tt
Ex.n°16 (Ex.111 p.279) : A( 14 ;3;1) appartient (p1) et pas à (p2). Ex.n°17* (Ex.119 p.280) : 1.b. {zy=2+t=−x=t3+t
2.b. A(4;6;1)
Ex.n°18** (Sujet A p.287) : 1. V 2. F 3. V 4. V 5. F 6. F 7. V 8. V 9. V Ex.n°19** (Sujet C p.287) : 2.c. {x=−5+2y=9−tz=4+t t
2.d. J(-1;7;6) 2.e. IJ = 2√6. Ex.n°20*** (Ex.153 p.289) : 4.b. aABC = 1
2 √b²c²+a²c²+a²b².
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