2.3 Produit scalaire et distance dans L

Chapitre 2

ANALYSE FONCTIONNELLE

2.1 Introduction à l analyse fonctionnelle

Parmi les domaines des mathématiques utiles en traitement du signal, on en dis- tingue tout particulièrement deux qui sont :

- l’analyse fonctionnelle - la théorie des probabilités

La théorie des probabilités est utilisée lorsque le signal à étudier est de nature aléatoire. Lorsque le signal est déterministe, on utilise l’analyse fonctionnelle en se plaçant dans un espace vectoriel de Hilbert qui est en général celui des fonctions de carré commable. Il importe a alors de se définir dans cet espace vectoriel :

- la dimension de l’espace - la base qui sous-tend l’espace - une métrique et donc une norme

Le choix de la base détermine la dimension de l’espace vectoriel. Ce choix est pure- ment arbitraire mais est en général guidé par l’analyse que l’on cherche à effectuer sur le signal. Nous verrons ultérieurement que le nombre de bases dont on dispose dans les faits reste assez limité. Une fois la base choisie, on peut développer le signal s(t) sur cette base. Le signal est alors représenté par la série :

s(t) =Σ_nc_nΦ_n(t) (2.1)

Les coefficients cn sont les composantes du signal dans la base et constituent une représentation du signal s(t). Toutes les représentations d’un signal sont équivalentes pourvu que l’on travaille dans des bases de même dimension. On passe d’une représen- tation à une autre par changement de base.

2.2 Espace vectoriel des fonctions

L’espace vectoriel que l’on utilise est un espace vectoriel de Hilbert muni d’une distance sur le corps des réels ou des complexes. C’est en général l’espaceL² des fonc- tions de carré sommable auquel on associe une loi de composition interne (+)qui est

15

l’addition des signaux et une loi de composition externe notée (.) qui est la multipli- cation d’un complexe par un signal. L’espaceL² des fonctions de carré sommable est particulièrement intéressant car on peut y introduire facilement les notions de produit scalaire donc de projection ce qui fait qu’il s’apparente fortement à R³. Rappelons qu’une fonction est dite de carré sommable si :

R_∞

−∞f(x)f^∗(x)dx <∞

Si l’intégrale va de moins l’infini à plus l’infini la fonction appartient àL²(C), par contre si le support est borné on parle de l’espaceL²(T) avecT = [a, b].

Muni de ces deux lois, l’espaceL² a la structure d’un espace vectoriel puisque : - pour la l.c.i+qui agit deL² dansL² on a :

∀s1,s2,s3 ∈L²

s₁+s₂ =s₂+s₁ s1+ (s2+s3) = (s1+s2) +s3

∃e / s₁+e=e+s₁ =s₁e= 0

∃a / s₁+a=a+s₁ =ea=−s₁ - pour la l.c.e. qui agit deC dans L² on a :

λ, µ∈C / ∀s1, s2 ∈L

λ.(s₁+s₂) =λ.s₁+λ.s₂ (λ+µ).s1=λ.s1+µ.s1

∃e∈C / e.s₁ =s₁.e=s₁

∃a∈C / a.s₁ =s₁.a=e

La dimension de l’espace vectoriel peut être finie ou infinie selon la base choisie.

L’espace vectoriel est dit normé si il est muni d’une norme ou d’une distance.

2.3 Produit scalaire et distance dans L

²

2.3.1 Signaux analogiques

Si l’on considère deux signaux s et r ∈ H (qui est un espace vectoriel de Hilbert sur le corps des complexes) on peut associer à ces deux signaux le produit scalaire

< r|s > qui est nombre complexe tel que :

< r|s >=

Z

s(t)r^∗(t)dt (2.2)

La quantité< r|s >s’appelle produit scalaire du signals(t)par le signalr(t)dans H. Ce produit scalaire n’est pas commutatif à cause de la propriété d’antisymétrie.

Dans le cas ou le corps d’arrivée s’apparente au corps des réels, on retrouve cependant la propriété de commutativité. A partir du produit scalaire il est possible de définir de façon classique unenormequi est la racine carrée de l’autoproduit scalaire :

2.3. PRODUIT SCALAIRE ET DISTANCE DANSL² 17

ks(t)k=p

hs(t)|s(t)> (2.3)

La norme du signal représente la distance d qui sépare l’origine de l’extrémité du signal. On peut de ce fait calculer la distance qui sépare deux signaux s(t) etr(t) en calculant en tous points la norme de la différence entre ces deux signaux :

d(s, r) = sZ _∞

−∞|s(t)−r(t)|²dt (2.4)

Si la distance qui sépare les deux signaux est nulle, on peut alors affirmer que le signal s(t) est identique au signalr(t). On peut également définir à partir du produit scalaire la condition d’orthogonalité entre deux signaux

d(s, r) = 0 (2.5)

Dans la pratique, nous nous intéressons au cas particulier important ou l’espace de Hilbert H s’identifie à l’espace vectoriel des fonctions de carré sommable sur l’inter- valle T = [a, b]que l’on noteraL²(T). Dans cet espace vectoriel on définit leproduit scalaire par la relation suivante :

hr(t)|s(t)>=

Z

T

s(t)r(t)^∗dt (2.6)

On voit que la norme d’un signal est reliée à l’énergie contenue dans le signal. Il est impératif de noter qu’avec une telle définition du produit scalaire, le produit scalaire et donc la norme d’un signal dépendent des bornes d’intégration [a, b]. La distancedqui sépare deux signauxs(t) etr(t)s’écrit dans L²(T):

d²(s, r) = Z

T|s(t)−r(t)|²dt (2.7)

2.3.2 Signaux numériques

Pour des signaux numériques toutes les relations précédentes se transposent en remplaçant le signe intégral par une somme discrète sur les échantillons qui composent les signaux (il est toutefois nécessaire que les signaux soient de même dimension). Le produit scalaire s’écrit ainsi :

hsri=X

i

s_ir^∗_i (2.8)

2.4 Représentation d un signal

2.4.1 Détermination de la représentation d un signal

Considérons un signal |s(t)i appartenant à l’espace fonctionnel L²(T) muni d’une base{Φn(t)} de dimensionfinieN. Dans cette base, le signal |s(t)is’écrit :

|s(t)i= XN

n=1

c_n|Φ_n(t)i (2.9)

La représentation du signal dans la base choisie sera obtenue en déterminant les {c_n}. Pour cela, il suffit de projeter le signal sur chaque vecteur de base donc d’effectuer le produit scalaire du signal par chacun des vecteurs de base

hΦ_k(t)|s(t)i= Z

T

s(t)Φ^∗_k(t)dt= Z

T

Σc_nΦ_n(t)Φ^∗_k(t)dt (2.10) soit

hΦ_k(t)|s(t)i=Σncn

Z

T

Φn(t)Φ^∗_k(t)dt=ΣncnhΦ_k(t)|Φn(t)i (2.11) Nous faisons l’hypothèse que la base choisie est orthogonale ce qui nous permet d’éliminer tous les termes de la somme surnsauf celui qui correspond àn=k. Il vient alors :

ck= hΦ_k(t)|s(t)i

hΦ_k(t)|Φ_k(t)i (2.12)

Dans le cas où la base choisie est en outre orthonormale on a :

hΦk(t)|Φj(t)i=δkj (2.13) et la représentation du signal s’obtient alors simplement en effectuant le produit scalaire du signal par les vecteurs de base

c_k=hΦ_k(t)|s(t)i= Z

T

s(t)Φ^∗_k(t)dt (2.14)

On peut ainsi remarquer quecnconstituent des coefficients qui s’apparentent forte- ment aux coefficients de Fourier pour une fonction périodique. Ils sont appelés“coefficients de Fourier généralisés“et définissent la représentation du signals(t).

2.5. PRINCIPE DES MOINDRES CARRÉS : APPROXIMATION D UNE FONCTION19

2.4.2 Exemple de bases de

L²

(T)

Il existe un certain nombre de bases orthogonales de L². Parmi les plus utilisées nous distinguerons :

- Φm(t) = q2

πsinmt t∈[0, π]et m∈N^∗ - Φ_n(x) =©

1,cos(^2πnx_T ),sin(^2πnx_T )ª

n∈N ,x ∈ £

−^T₂,^T₂¤ -polynômes de Legendre sur [−1,1] Φn (x) =xⁿn∈N -polynômes de Laguerre sur[0,∞]

2.4.3 Méthode d orthonormalisation de Gram-Schmidt

Cette méthode permet de passer d’une base de fonctions Φn(t) quelconque à une nouvelle base ψ_n(t) orthonormale sur un intervalle T donné. Il suffit pour cela de construire la baseψ_n(t) à partir de la baseΦ_n(t) selon la procédure suivante :

ψ₁(t) =c11Φ1(t)

ψ₂(t) =c21Φ1(t) +c22Φ2(t)

ψ₃(t) =c₃₁Φ₁(t) +c₃₂Φ₂(t) +c₃₃Φ₃(t)

La méthode consiste ensuite à déterminer les coefficientscij de manière à normaliser la baseψ_n(t)

2.5 Principe des moindres carrés : approximation d une fonction

2.5.1 Principe de la méthode

La méthode consiste à approximer un signal s(t) par une fonction bs(c, t) d’un pa- ramètre c ajustable de façon à ce que l’approximation de s(t) par bs soit la meilleure possible sur l’intervalle d’étudeT du signals(t). L’approximation des(t)parbs(c, t)est ajustée en minimisant la distance qui sépare le signals(t)de son approximation bs(c, t) par rapport au paramètrec. Il s’agit donc de calculer d’abord la distance entre les deux signaux puis d’ajuster le paramètre c de façon à annuler la dérivée de la distance par rapport àc.

d²(s(t),bs(c, t)) = Z

T |s(t)−bs(c, t)|²dt (2.15) d¡

(d²(s(t),bs(c, t))¢

dc = 0 (2.16)

La qualité de l’approximation est donnée par l’écart quadratique moyen E :

E = 1 b−a

Z b

a |s(t)−bs(c, t)|²dt (2.17)

ou de préférence par l’écart type :

σ=√

E (2.18)

2.5.2 Approximation d une fonction réelle par la méthode des moindres carrés

Il s’agit de minimiser la distance qui sépare le signal de sa représentation que l’on notera :

b

s(t) =ΣncnΦn(t) (2.19)

par rapport à chaque paramètrec_k.

Calculons tout d’abord l’écart quadratique moyenE :

E= Z b

a

(s(t)−ΣncnΦn(t))²dt (2.20)

E = Z b

a

£s(t)²−2ΣncnΦn(t)s(t) +ΣnΣmcncmΦn(t)Φm(t)¤

dt (2.21)

Cette expression sera minimale sur l’intervalle d’étude T si les dérivées partielles deE par rapport aux paramètres c_k sont nulles soit :

∂E

∂c_k =−2 Z b

a

Φ_k(t)s(t)dt+ 2Σ_nc_n Z b

a

Φ_n(t)Φ_k(t)dt (2.22) soit

0 =hΦ_k(t)|s(t)i−Σ_nc_nhΦ_k(t)|Φ_n(t)i (2.23) soit encore

hΦ_k(t)|s(t)i=Σ_nc_nhΦ_k(t)|Φ_n(t)i (2.24) Si la base est orthonormale la solution est très simple puisque le produit scalaire des vecteurs de base est égalδ_kn. On en déduit que :

2.5. PRINCIPE DES MOINDRES CARRÉS : APPROXIMATION D UNE FONCTION21

c_k=hΦ_k(t)|s(t)i (2.25)

On retrouve que la représentation du signal n’est rien d’autre que la projection du signal sur les vecteurs de base.

Si la base n’est pas orthonormée la représentation du signal est plus difficile à calculer puisqu’il faut résoudre le système d’équations à N inconnues suivant :

c1hΦ1(t)|Φ1(t)i+c2hΦ1(t)|Φ2(t)i+...+cNhΦ1(t)|ΦN(t)i

c1hΦN(t)|Φ1(t)i+c2hΦN(t)|Φ2(t)i+...+cNhΦN(t)|ΦN(t)i

=

hΦ₁(t)|s(t)i

hΦ_N(t)|s(t)i

(2.26)

Ce système d’équations peut se mettre sous forme matricielle :







hΦ₁(t)|Φ₁(t)i hΦ₁(t)|Φ₂(t)i .. ... hΦ₁(t)|Φ_N(t)i

hΦ_N(t)|Φ₁(t)i hΦ_N(t)|Φ₂(t)i... ...hΦ_N(t)|Φ_N(t)i











 c₁ c2

c_N







=







hΦ1(t)|s(t)i

hΦN(t)|s(t)i





 (2.27)

Le terme général de la matrice s’écrit

hΦ_j(t)|Φ_i(t)i= Z

T

Φ_j(t)Φ_i(t)dt (2.28)

La solution qui conduit à la représentation du signal s’obtient en inversant la ma- trice :

[Φ] [c] = [S] [c] = [Φ]⁻¹[S] (2.29) La méthode d’approximation que nous venons de décrire est bien adaptée lorsque la représentation du signal fait intervenir une combinaison linéaire des paramètres. C’est en particulier le cas pour l’approximation polynomiale dont l’un des cas particuliers est la régression linéaire.

Lorsque la représentation est non linéaire comme dans le cas d’un signal gaussien ou lorentzien, il faut reprendre le calcul dès le point de départ.

Remarque : Il faut noter que la présentation d’un signal dépend de l’intervalle T d’étude du signals(t). Le changement des bornes d’intégration entraîne le changement de la représentation.

2.5.3 L approximation d un signal numérique par sa représentation

La méthode est identique à la précédente si ce n’est que le signal est représenté par une suite d’échantillons{s_k}. On cherche donc à minimiser l’écart quadratique moyen qui s’écrit dans ce cas :

E = 1 N

N

k=1Σ (s_k−Σc_nΦ_n(k))² (2.30) On retrouve le même système d’équations que précédemment mais les termes gé- néraux des matrices hΦi | Φji et hΦi |si s’écrivent maintenant sous forme de somme discrète :

hΦi|Φji=X

k

Φj(k)Φi(k) (2.31)

hΦ_i|si=X

k

s_kΦ_i(k) (2.32)

2.6 Décomposition d une fonction périodique.

2.6.1 Détermination des coefficients de la représentation en série de Fourier

Considérons une fonctions(t)périodique de périodeT satisfaisant les conditions de Dirichlet :

- définie et continue sur l’intervalle T sauf éventuellement en un nombre fini de points.

- de classeC1 par morceaux.

La fonction s(t) peut alors être représentée dans la base orthogonale {Φ_n(t)} sui- vante :

{Φn(t)}=©

cos^2πnt_T , sin^2πnt_T ª

pour n∈N ett∈£

−^T2,^T₂¤

Cette base est en effet orthogonale mais n’est pas orthonormale puisque :

A= Z

T

cos(2πnt/T)cos(2πmt/T)dt=

T /2 sin=m6= 0 T sin=m= 0

0 sin6=m

(2.33)

B = Z

sin(2πnt/T)sin(2πmt/T)dt= T /2 si n=m

0 sin6=m (2.34) La base étant orthogonale les coefficients c_k qui définissent la représentation du signal sur l’intervalleT sont donnés par :

2.6. DÉCOMPOSITION D UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 23

c_k= hΦ_k(t)|s(t)i

hΦ_k(t)|Φ_k(t)i (2.35)

soit :

a_o = R

T s(t)Φ_o(t)dt R

TΦo(t)Φo(t)dt = 1 T

Z

T

s(t)dt (2.36)

a_n= R

Ts(t)Φ_n(t)dt R

T Φn(t)Φn(t)dt = 2 T

Z

s(t)Φ_n(t)dt= 2 T

Z

s(t)cos(2πnt/T)dt (2.37)

b_n= 2 T

Z

T

s(t)sin(2πnt/T)dt (2.38)

Le signal périodique de période T peut donc se décomposer en série de Fourier et s’écrit alors :

s(t) =ao+X

ancos2πnt

T +X

bnsin2πnt

T (2.39)

On obtient ainsi directement les coefficients de la série de Fourrier d’une fonction périodique de périodeT. Dans ce cas, il faut bien noter que les coefficients de Fourrier sont des fonctions denou den/T =nf ou f désigne la fréquence du signal. Comme le développement se fait sur le corps des entiersn∈N , on ne trouve que des fréquences positives dans le spectre de Fourrier.

Remarques :

- Les coefficients a_n représentent la partie paire ou symétrique du signal et les coefficientsbnla partie impaire ou antisymétrique. En effet supposons que le signal soit pair alors :

s(t) =s(−t) (2.40)

Il en résulte que :

s(t) =ao+X

ancos2πnt

T (2.41)

- Le coefficient a_o représente la valeur moyenne du signal sur une période et il est clair qu’il est nul si le signal est impair.

Il est en outre possible de développer le signal dans une base complexe{ψ_n(t) =exp(2πjnt/T)} avec n ∈ Z et t ∈ T . Dans cette base, les coefficients de la série de Fourrier seront

donnés par :

c_n= hψ_n(t)|s(t)i hψ_n(t)|ψ_n(t)i = 1

T Z

T

s(t)ψ^∗_n(t)dt= 1 T

Z

T

s(t)e^−2πjnt/Tdt (2.42) Il faut noter que dans cette base les coefficients cn sont en général complexes. En particulier nous voyons facilement que

Re(c_n) = 1 T

Z

T

s(t) cos (2πnt/T)dt (2.43)

et

Im(c_n) =−1 T

Z

T

s(t) sin (2πnt/T)dt (2.44) De plus commen∈Z , le spectre de Fourier contient des fréquences artificiellement négatives. Il est possible de relier les coefficientscn et (an, bn ) entre eux. En effet :

s(t) = 2c_o+ X∞

1

c_ne^(2πjnt/T)+c_−ne^−(2πjn/T) (2.45) s(t) = 2c_o+P_∞

1 (c_n+c_−n)cos(2πnt/T) +jP

(c_n−c_−n)sin(2πnt/T) s(t) =ao+P_∞

ancos(2πnt/T) +P

bnsin(2πnt/T) soit par identification

c_n= a_n−jb_n

2 (2.46)

c_−n= a_n+jb_n

2 (2.47)

2.6.2 Identité de Parseval

L’identité de Parseval traduit la conservation de l’énergie lorsque l’on passe de l’espace réel à l’espace de Fourrier. Considérons un signal périodique de période T caractérisé par ses coefficients de Fourrier complexes{cn}. L’énergie contenue dans le signals(t) est donnée par :

Z

s(t)s^∗(t)dt= Z

T

Σncne^−2πjnt/T.Σmc^∗_me^2πjmt/Tdt (2.48)

=X

n

X

m

cnc^∗_m Z

T

e^{2πj(m−n)t/T}dt (2.49)

=TX

n

|cn|² (2.50)

2.6. DÉCOMPOSITION D UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 25 soit

1 T

Z

|s(t)|²dt=X

n

|cn|² (2.51)