On notera 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.

(1)

MPSI B DS 09 29 juin 2019

Problème I

Dans tout le problème

¹

, E est un R-espace vectoriel de dimension 3.

On notera 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.

Pour deux matrices A et B de M 3 ( R ) , on dira que la matrice A est semblable à la matrice B s'il existe une matrice P ∈ GL 3 ( R ) telle que

B = P ⁻¹ AP

On notera A ∼ B lorsque la matrice A est semblable à la matrice B .

L'objet de ce problème est d'étudier des exemples de matrices semblables à leur inverse.

Partie A

1. Montrer que la relation ∼ est une relation d'équivalence sur M 3 ( R ) .

2. Montrer que deux matrices de déterminants diérents ne sont pas semblables.

3. Soit u un endomorphisme de E et i , j deux entiers naturels. On considère l'application w de ker u

^i+j

vers E dénie par :

w(x) = u

^j

(x) a. Montrer que Im w ⊂ ker u

ⁱ

.

b. En déduire que

dim(ker u

^i+j

) ≤ dim(ker u

ⁱ

) + dim(ker u

^j

) 4. Soit u un endomorphisme de E vériant u ³ = 0 et rg u = 2 .

a. Montrer que dim(ker u ² ) = 2 .

b. Montrer qu'il existe un vecteur a tel que u ³ (a) 6= 0 et que la famille (u ² (a), u(a), a) est alors une base de E .

c. Écrire la matrice U de u et la matrice V de v = u ² − u dans cette base.

Partie B

Dans la suite de ce problème, la matrice A de M 3 ( R ) est semblable à une matrice du type

T =





1 α β 0 1 γ 0 0 1





1

d'après Mines Albi,Alès,... 2002 MPSI

On se propose de montrer que A est semblable à son inverse A ⁻¹ . On pose

N =





0 α β 0 0 γ 0 0 0





et soit P ∈ GL 3 ( R ) telle que

P ⁻¹ AP = T = I 3 + N 1. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible.

2. Calculer N ³ et montrer que

P ⁻¹ A ⁻¹ P = I 3 − N + N ²

3. On suppose dans cette question que N = 0 . Montrer alors que les matrices A et A ⁻¹ sont semblables.

4. On suppose dans cette question que rg(N ) = 2 . On pose M = N ² − N . a. Montrer que la matrice N est semblable à la matrice





0 1 0 0 0 1 0 0 0





et en déduire une matrice semblable à la matrice M . b. Calculer M ³ et déterminer rg(M ) .

c. Montrer que les matrices M et N sont semblables.

d. Montrer que les matrices A et A ⁻¹ sont semblables.

5. On suppose dans cette question que rg(N ) = 1 . On pose M = N ² − N . Montrer que les matrices A et A ⁻¹ sont semblables.

6. Exemple. Soit la matrice

A =





1 0 0

0 0 −1

0 1 2





On note (a, b, c) une base de E et u l'endomorphisme de E de matrice A dans cette base.

a. Montrer que ker(u − Id

E

) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont on donnera une base (e ₁ , e ₂ ) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0509E

(2)

MPSI B DS 09 29 juin 2019

b. Justier que la famille (e 1 , e 2 , c) est une base de E et écrire la matrice de u dans cette base.

c. Montrer que les matrices A et A ⁻¹ sont semblables.

d. Réciproquement, soit

T =





1 α β 0 1 γ 0 0 1





Toute matrice de M 3 ( R ) semblable à son inverse est-elle semblable à une matrice de la forme T ?

Problème II

Dans tout le problème

²

, l'espace euclidien R ³ est muni de sa structure euclidienne usuelle et rapportée à sa base canonique (orthonormée) notée (e 1 , e 2 , e 3 ) .

Partie I

Soit s l'endomorphisme de R ³ de matrice

S = 1 3





5 −1 −1

−1 5 −1

−1 −1 5





dans la base canonique.

1. Montrer que s est un automorphisme de R ³ . 2. Soient e ⁰ ₁ = (1, 1, 1) , e ⁰ ₂ = (1, −1, 0) , e ⁰ ₃ = (1, 1, −2) .

a. Montrer que (e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ , e ⁰ ₃ ) est une base de R ³ .

b. Déterminer la matrice S ⁰ de s dans la base (e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ , e ⁰ ₃ ) .

c. Pour n ∈ N, calculer S ⁰

ⁿ

et donner une méthode pour calculer S

ⁿ

. (on ne demande pas d'eectuer les calculs)

3. a. La famille (I 3 , S) est-elle libre dans M 3 ( R ) ?

b. Montrer que S ² peut s'exprimer comme combinaison linéaire de I ₃ et S .

c. En déduire que pour tout n ∈ N, il existe un unique couple (a

_n

, b

_n

) de réels tels que

S

ⁿ

= a

_n

I ₃ + b

_n

S

2

d'après Mines Albi,Alès,... 1998 MPSI

d. Donner les valeurs de a 0 , b 0 , a 1 , b 1 et exprimer a

n+1

et b

n+1

en fonction de a

n

et b

n

.

e. Montrer que la suite (a

_n

+ b

_n

)

_n∈_N

est constante et que la suite (b

_n

+ 1)

_n∈_N

est géométrique. En déduire l'expression de a

n

et b

n

pour tous les n .

4. Soit B = S − 2I 3 .

a. Calculer B

ⁿ

pour n ∈ N. En déduire l'expression de S

ⁿ

en fonction de I ₃ et B . b. Comparer avec le résultat de la question 3.

5. L'expression de S

ⁿ

obtenue aux questions 3. et 4. est-elle valable pour n ∈ Z ? Partie II

Soit f l'endomorphisme de R ³ de matrice

A = 1 3





−1 −1 5

5 −1 −1

−1 5 −1





dans la base canonique. On pose

u = f ◦ s ⁻¹ et on note U la matrice de u dans la base canonique.

1. Calculer U , vérier que u est un automorphisme orthogonal et que u ◦ s = s ◦ u = f

2. Soit (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) la famille obtenue en normant les vecteurs (e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ , e ⁰ ₃ ) de la question 2.

de la première partie.

a. Montrer que (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) est une base orthonormale.

b. Écrire la matrice U ⁰ de u dans cette base.

3. a. Exprimer la matrice de s dans la base (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) en fonction de S ⁰ . b. En déduire la matrice de f dans la base (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) .

4. a. Quel est l'ensemble des vecteurs invariants par f ?

b. Soit P = Vect(e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ )) . Montrer que f (P ) = P . Soit g l'endomorphisme de P tel que g(x) = f (x) pour tout x de P . Montrer que g est la composée de deux applications linéaires simples que l'on précisera.

5. On note C(f ) l'ensemble des endomorphismes de R ³ commutant avec f . C'est à dire l'ensemble des endomorphismes g tels que g ◦ f = f ◦ g .

2

(3)

MPSI B DS 09 29 juin 2019

a. Montrer que C(f ) est une sous-algèbre de L( R ³ ) . b. Soit g ∈ C(f ) .

i. Montrer que le vecteur g(e ⁰⁰ ₁ ) est invariant par f . Que peut-on en déduire ? ii. Soit M la matrice de g dans la base (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) . Montrer que M commute

avec S ⁰ ³ .

iii. En déduire la forme générale de la matrice d'un endomorphisme de C(f ) dans la base (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) .

c. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel C(f ) ?

3

On notera 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.

MPSI B DS 09 29 juin 2019

Problème I

Dans tout le problème

, E est un R-espace vectoriel de dimension 3.

On notera 0 l'endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul.

Pour deux matrices A et B de M 3 ( R ) , on dira que la matrice A est semblable à la matrice B s'il existe une matrice P ∈ GL 3 ( R ) telle que

B = P −1 AP

On notera A ∼ B lorsque la matrice A est semblable à la matrice B .

L'objet de ce problème est d'étudier des exemples de matrices semblables à leur inverse.

Partie A

1. Montrer que la relation ∼ est une relation d'équivalence sur M 3 ( R ) .

2. Montrer que deux matrices de déterminants diérents ne sont pas semblables.

3. Soit u un endomorphisme de E et i , j deux entiers naturels. On considère l'application w de ker u

vers E dénie par :

w(x) = u

(x) a. Montrer que Im w ⊂ ker u

.

b. En déduire que

dim(ker u

) ≤ dim(ker u

) + dim(ker u

) 4. Soit u un endomorphisme de E vériant u 3 = 0 et rg u = 2 .

a. Montrer que dim(ker u 2 ) = 2 .

b. Montrer qu'il existe un vecteur a tel que u 3 (a) 6= 0 et que la famille (u 2 (a), u(a), a) est alors une base de E .

c. Écrire la matrice U de u et la matrice V de v = u 2 − u dans cette base.

Partie B

Dans la suite de ce problème, la matrice A de M 3 ( R ) est semblable à une matrice du type

T =





1 α β 0 1 γ 0 0 1





d'après Mines Albi,Alès,... 2002 MPSI

On se propose de montrer que A est semblable à son inverse A −1 . On pose

N =





0 α β 0 0 γ 0 0 0





et soit P ∈ GL 3 ( R ) telle que

P −1 AP = T = I 3 + N 1. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible.

2. Calculer N 3 et montrer que

P −1 A −1 P = I 3 − N + N 2

3. On suppose dans cette question que N = 0 . Montrer alors que les matrices A et A −1 sont semblables.

4. On suppose dans cette question que rg(N ) = 2 . On pose M = N 2 − N . a. Montrer que la matrice N est semblable à la matrice





0 1 0 0 0 1 0 0 0





et en déduire une matrice semblable à la matrice M . b. Calculer M 3 et déterminer rg(M ) .

c. Montrer que les matrices M et N sont semblables.

d. Montrer que les matrices A et A −1 sont semblables.

5. On suppose dans cette question que rg(N ) = 1 . On pose M = N 2 − N . Montrer que les matrices A et A −1 sont semblables.

6. Exemple. Soit la matrice

A =





1 0 0

0 0 −1

0 1 2





On note (a, b, c) une base de E et u l'endomorphisme de E de matrice A dans cette base.

a. Montrer que ker(u − Id

) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont on donnera une base (e 1 , e 2 ) .

1

MPSI B DS 09 29 juin 2019

b. Justier que la famille (e 1 , e 2 , c) est une base de E et écrire la matrice de u dans cette base.

c. Montrer que les matrices A et A −1 sont semblables.

d. Réciproquement, soit

T =





1 α β 0 1 γ 0 0 1





B = P ⁻¹ AP

) 4. Soit u un endomorphisme de E vériant u ³ = 0 et rg u = 2 .

a. Montrer que dim(ker u ² ) = 2 .

b. Montrer qu'il existe un vecteur a tel que u ³ (a) 6= 0 et que la famille (u ² (a), u(a), a) est alors une base de E .

c. Écrire la matrice U de u et la matrice V de v = u ² − u dans cette base.

On se propose de montrer que A est semblable à son inverse A ⁻¹ . On pose

P ⁻¹ AP = T = I 3 + N 1. Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible.

2. Calculer N ³ et montrer que

P ⁻¹ A ⁻¹ P = I 3 − N + N ²

3. On suppose dans cette question que N = 0 . Montrer alors que les matrices A et A ⁻¹ sont semblables.

4. On suppose dans cette question que rg(N ) = 2 . On pose M = N ² − N . a. Montrer que la matrice N est semblable à la matrice

et en déduire une matrice semblable à la matrice M . b. Calculer M ³ et déterminer rg(M ) .

d. Montrer que les matrices A et A ⁻¹ sont semblables.

5. On suppose dans cette question que rg(N ) = 1 . On pose M = N ² − N . Montrer que les matrices A et A ⁻¹ sont semblables.

) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont on donnera une base (e ₁ , e ₂ ) .

c. Montrer que les matrices A et A ⁻¹ sont semblables.

, l'espace euclidien R ³ est muni de sa structure euclidienne usuelle et rapportée à sa base canonique (orthonormée) notée (e 1 , e 2 , e 3 ) .

Soit s l'endomorphisme de R ³ de matrice

1. Montrer que s est un automorphisme de R ³ . 2. Soient e ⁰ ₁ = (1, 1, 1) , e ⁰ ₂ = (1, −1, 0) , e ⁰ ₃ = (1, 1, −2) .

a. Montrer que (e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ , e ⁰ ₃ ) est une base de R ³ .

b. Déterminer la matrice S ⁰ de s dans la base (e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ , e ⁰ ₃ ) .

c. Pour n ∈ N, calculer S ⁰

b. Montrer que S ² peut s'exprimer comme combinaison linéaire de I ₃ et S .

I ₃ + b

en fonction de I ₃ et B . b. Comparer avec le résultat de la question 3.

Soit f l'endomorphisme de R ³ de matrice

u = f ◦ s ⁻¹ et on note U la matrice de u dans la base canonique.

2. Soit (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) la famille obtenue en normant les vecteurs (e ⁰ ₁ , e ⁰ ₂ , e ⁰ ₃ ) de la question 2.

a. Montrer que (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) est une base orthonormale.

b. Écrire la matrice U ⁰ de u dans cette base.

3. a. Exprimer la matrice de s dans la base (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) en fonction de S ⁰ . b. En déduire la matrice de f dans la base (e ⁰⁰ ₁ , e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ ) .

b. Soit P = Vect(e ⁰⁰ ₂ , e ⁰⁰ ₃ )) . Montrer que f (P ) = P . Soit g l'endomorphisme de P tel que g(x) = f (x) pour tout x de P . Montrer que g est la composée de deux applications linéaires simples que l'on précisera.

5. On note C(f ) l'ensemble des endomorphismes de R ³ commutant avec f . C'est à dire l'ensemble des endomorphismes g tels que g ◦ f = f ◦ g .