A346. Les entiers partageux
Un entier naturel k-partageux est le plus petit entier qui a exactement k diviseurs positifs y compris 1 et lui-même.
On désigne par s(k) le terme général de la suite S des termes k-partageux. Les premiers termes sont s(1) = 1, s(2) = 2, s(3) = 4, s(4) = 6...
Q1 Déterminer les plus petites valeurs de k telles que les entiers k-partageux correspondants sont respectivement divisibles par 5,7,11,13.
Q2 Démontrer que l’équation s(k) = 10k a une solution et une seule en k.
Q3 Un entier n quelconque étant fixé à l’avance, démontrer qu’on sait toujours trouver deux termes consécutifs s(k) et s(k+1) de la suite S tels que le premier dépasse n fois le second. Application numérique : n = 1000000.
Q4 Démontrer que s(2n ) divise s(2n+1 ) pour tout n ≥ 0
Solutions proposées par Gaston Parrour
Q1 Déterminer les plus petites valeurs de k telles que les entiers k-partageux correspondants sont respectivement divisibles par 5,7,11,13.
Remarque préliminaire : k nombre de diviseurs est en général un nombre composé et s'écrit
k = P/i (pi)ri ri >0 et P/i est un produit sur l'indice i des nombres premiers pi → Divers groupements des facteurs premiers sont possibles et conduisent à autant de décompositions de k.
Celles-ci peuvent s'écrire sous la forme suivante :
k = (a1+1)(a2+2) … (am+1) … avec a1 > a2 > … > am … [ égalité(s) possible(s)].
Elles permettent chacune de construire un nombre N(k) le plus petit possible de la forme N(k) = 2a13a2 … pmam …
où apparaissent successivement en ordre croissant les nombres premiers 2,3, … ,pm, …
Parmi ces entiers N(k) associés au même nombre k de diviseurs, l'un d'entre eux est plus petit que tous les autres. Il est désigné par s(k) dans l'énoncé.
N.B. Il ne peut y avoir deux s(k) puisque cela impliquerait alors le même « jeu » de a1,a2, … ,am ,... car la décomposition de chaque N(k) en nombres premiers est unique.
A partir de cela, un N(k) est divisible par le nombre premier pm si son développement contient pm ==> Pour déterminer le plus petit k pour lequel s(k) est divisible par pm :
Il faut donc déterminer le plus petit k tel qu'au moins un des N(k) est divisible par pm ; et il faut que ce N(k) ou l'un des N(k) retenus soit le s(k).
Dans le cas contraire il faut passer à une autre valeur de k.
CAS pm=5
Ce nombre premier est le 3ième en ordre croissant. Le plus petit k possible qui peut se décomposer en trois facteurs est k=2.2.2 =8
mais N(k=8=2.2.2) = 2.3.5 =30 est plus grand que s(k=8=2.4) = 23.3 =24 La valeur suivante de k sera donc k=2.2.3=12 et donc N(2.2.3)=22.3.5 =60
on vérifie simplement que ce N(k=12=2.2.3) est le plus petit des N(12) possibles : toutes les autres décompositions de k=12 conduisent à des N(12) > 60. Donc s(12)=60
==> k=12 est le plus petit k générant un k-partageux ( 60 ) divisible par 5 CAS pm=7
Pour ce 4ième nombre premier, k doit pouvoir se décomposer en 4 facteurs Le plus petit k possible avec 4 facteurs est k =2.2.2.2 = 16
N(k=16=2.2.2.2)=2.3.5.7 = 210 mais on observe que s(k=16=2.2.4)=23.3.5=120 La valeur suivante pour k est k=2.2.2.3=24
N(k=24=2.2.2.3)=22.3.5.7=420 mais s(k=24=2.3.4)=23.32.5=360 La valeur suivante pour k est k =2.2.2.4=32 (inférieure à 2.2.3.3) N(k=32 =2.2.2.4)=23.3.5.7=840 ceci est le s(32)
On peut très simplement vérifier que ce N(k) est le plus petit des N(32) : par exemple N'(k=2.4.4)=23.33.5 et N'/N = 32/7 >1
==> k=32 est le plus petit k générant un k-partageux (840) divisible par 7
Remarque : Ces deux premiers cas examinés permettent de cerner une méthode d'approche pour la suite : - partir du k minimal correspondant au nombre de facteurs premiers souhaités.
Vérifier si le N(k) correspondant est s(k), sinon
- passer au k immédiatement supérieur comportant le même nombre de facteurs et recommencer le test N(k) = s(k) ?
N.B. Ce test est très simple : dans la mesure où on effectue pour cela le rapport r de deux N(k) décomposés en leurs facteurs premiers afin de comparer r à l'unité.
CAS pm=11
Ce 5ième facteur premier exige que k puisse se décomposer en 5 facteurs.
On a pu noter déjà sur les exemples précédents que la décomposition donnant la valeur de k la plus faible, celle où ne figurent que des « 2 », - ici (k=2x2x2x2x2) -, est à écarter d'emblée : elle ne fournit jamais le N(k) le plus faible. A partir de cela, les choix possibles pour k sont par ordre croissant :
- k = 2.2.2.2.3 = 48 mais N(48=2.2.2.2.3) > s(48=2.2.3.4) - k = 2.2.2.2.4 = 64 mais N(64=2.2.2.2.4) > s(64=2.2.4.4) - k = 2.2.2.3.3 = 72 mais N(72=2.2.2.3.3) > s(72=2.3.3.4) - k = 2.2.2.3.4 = 96 ici on vérifie que N(96=2.2.2.3.4) est s(96) :
par exemple : N(96=2.2.4.6) ou bien N(96=2.3.4.4) > N(96=2.2.2.3.4) ==> k=96 est le plus petit k générant un k-partageux (27720) divisible par 11
CAS pm=13
Il faut 6 facteurs dans la décomposition de k pour la présence de ce 6ième facteur premier dans le k-partageux On procède comme précédemment avec des k croissants à partir de k =2.2.2.2.2.3
La première valeur de k, décomposé en 6 facteurs, et qui fournit un s(k) est k=240=2.2.2.2.3.5 auquel correspond s(k) = 24.32.5.7.11.13 ==> k=240 est le plus petit k générant un k-partageux (720720) divisible par 13
Q2 Démontrer que l’équation s(k) = 10k a une solution et une seule en k.
Cette question s'apparente à celles de l'exercice A1841 du mois décembre 2013 (en particulier l'affirmation 3 de Zig). Ici on peut
- tout d'abord déterminer un N(k) = 2.5.k
- ensuite montrer que ce N(k) est en fait s(k) et qu'il est unique.
1 - N(k) ?
Compte tenu de l'écriture de N(k), le nombre k comporte au moins deux facteurs distincts.
Supposons « a minima » k de la forme k= 2a.3b alors N(k) = 2a+13b5 Par conséquent (a+2)(b+1)2 = 2a3b soit
(a+2)(b+1) = 2a-13b dont une solution évidente est a0 = 1 et b0= 2
==> k = 18 qui conduit donc a N(18=k=2.3.3) = 22.32.5 = 180 = 10.18 2 – Ce N(18) = 180 est s(18) et il est unique
Les décompositions de k=18 sont 18, 2.9, 3.6, 2.3.3
Le seul candidat plausible serait avec k=3.6 qui conduit à N'(18=3.6) = 25.32 , mais alors N'/N = 23/5 > 1
Unicité de la solution : « l'équation de départ n'admet que la solution trouvée pour k » En reconduisant le raisonnement proposé pour A1841 :
Considérons la fonction f(n) = n/d(n) où n est entier et d(n) le nombre de diviseurs de n Ici avec N on a f(N) = N/d(N) = 10
D'autre part si m est un diviseur de n : n=m.u
f(m) = m/d(m) = u.m/(u.d(m)) = n/(u.d(m)) < n/d(u.m) L'inégalité est due au fait qu'en général
d(u.m) < d(u).d(m) < u.d(m) (égalités que si m = 2.u i.e . où 2 n'apparaît qu'à la puissance 1) ==> Soit ici : pour tout m diviseur de N f(m) < N/d(N) = 10 (égalité permise dans la condition précisée) A partir de la solution trouvée en 1- ci-dessus, et de la présence du facteur 10, supposons un N de la forme N = 2a+23b+251+cpr où p est un nombre premier différent de 2, 3, 5 (1)
On choisit un diviseur m = 2a'+23b'+25c'+1pr' où a',b',c',r' sont compris entre 0 et a,b,c,r (égalités permises)
f(m) = m/[(3+a')(3+b')(2+c')(1+r')]
A droite, on a affaire à un produit de facteurs de la forme : qt/(1+t) ceci est une fonction croissante de t → Le minimum de f(m) est obtenu pour a=b=c=r=0 ==> f(m) = 4/3.3.5/2 = 10 (car alors m=N) Si l'un quelconque des nombres a, b, c, r est différent de zéro, - a par exemple -,on peut choisir un diviseur m avec 0<a' et inférieur ou égal a : on obtient f(m) > 10
Exemple avec a=1 et a'=1, b=c=r=0 ==> f(m)=8/4.3.(5/2) =15 >10 Ceci est a fortiori vrai si plusieurs des nombres a,b,c,r sont différents de zéro.
Et la factorisation de f(m) permet d'étendre directement ce résultat au cas où un produit de nombres premiers piri remplace le seul pr considéré ici (les pi étant tous différents de 2, 3, 5)
==> La contradiction avec la gamme de valeurs attendues pour f(m) : f(m) < 10 (égalité permise à une certaine condition), interdit donc tout N de la forme (1) dans laquelle l'un quelconque (ou plusieurs) des a ou b ou c ou ri serait(seraient) différent(s) de zéro. D'où
===> La solution trouvée N(k=18=2.3.3) = s(18) = 180 est l'unique solution de s(k) = 10k
Q3 Un entier n quelconque étant fixé à l’avance, démontrer qu’on sait toujours trouver deux termes consécutifs s(k) et s(k+1) de la suite S tels que le premier dépasse n fois le second. Application numérique : n = 1000000.
« On peut toujours trouver une paire s(k) s(k+1) telle que s(k) > n x s(k+1) pour tout n donné ».
Dans la construction de la suite S des k-partageux, il est aisé de remarquer que lorsque k = p un nombre premier, l'unique décomposition de k conduit à :
s(k=p) = 2p-1
Ce nombre qui augmente rapidement avec la suite des nombres premiers p est, dans le cas général, très grand devant ses voisins les plus proches s(k-1) et s(k+1). Ces derniers font appels à des décompositions d'un nombre pair qui conduisent nécessairement à des nombres s(k+/-1) inférieurs à 2p-1.
→ Partant de k=p, on s'intéresse ici à s(k+1)
On aura affaire à la décomposition la plus « défavorable » , du point de vue qui nous intéresse ici, si p+1 = 2.p' où p' est à son tour un nombre premier . Alors s(k+1=p+1=2.p') = 2p'-13 Le rapport r des deux termes successifs de la suite S est ici
r = s(k)/s(k+1) = 2p-p'/3 = 2(p-1)/2/3
==> Si on se donne un entier n quelconque, cette fonction croissante de p permet toujours de réaliser n < r = 2(p-1)/2/3
cela par un choix du nombre premier p qui satisfait cette inéquation.
La solution pour p est donnée à l'aide de l'entier Np défini par : Np = Int[ 1 + 2 (log
2 10)( log 3 + log n)] où log
2 est le logarithme en base 2 et log celui en base 10 et Int [ ] est le nombre entier immédiatement supérieur ou égal au nombre dans le crochet.
==> Le nombre premier cherché est le premier nombre premier p tel que p > Np (égalité permise)
Remarque : Ainsi, puisque en général s(k+1) < N(k+1=2.p') (égalité lorsque p' premier), il est assuré que s(k)/s(k+1) > n pour tout n donné
Avec log
2 10 = 1/log 2 = 1/.30103... , log 3 = .47712... et log n = 6 , on a Np = Int[ 44,03305...] =45 Donc
==> p = 47 réalise s(47) > 106 s(48)
Remarque : ici p+1= 48 et 48 =2.24, 24 n'étant pas un nombre premier, il est clair que s(48) < N(48=2.24) Le raisonnement précédent qui aboutit au calcul de p, nous assure en fait que s(p)/N(p+1=2.p') > n fixé ; cela que p' soit premier ou non.
Donc a fortiori ici avec p = 47, on aura s(p)/s(p+1) > 106
En fait, en décroissant à partir de p = 47, le premier nombre premier tel que p+1 = 2p' avec p' premier est p=37 qui donne p' = 19 .
On vérifie aisément qu'alors on n'a pas s(37)/s(38) > 106 car lorsque p+1=2p' ET p' premier, on a vu que p =47 est le minimum requis.
Cependant cette considération nous permet de penser que la valeur minimum de p qui réalise l'inégalité n'est pas forcément 47, mais un nombre premier compris entre 37 et 47.
==> on peut vérifier que p=41 avec p+1=42=2.3.7 conduit à s(41)/s(42) = 240/(26325) =234/45 > 106
Q4 Démontrer que s(2n ) divise s(2n+1 ) pour tout n ≥ 0
Pour k=2n (comme pour tout k) il existe une décomposition particulière qui engendre le k-partageux : 2n = (a1+1)(a2+1) … (am+1) où pour i=(1, m) ai+1 = 2a'i (1)
Et il en résulte
s(2n) = 2a1.3a2. … p
m
am où figurent les m premiers nombres premiers en ordre croissant.
Lorsqu'on passe de k=2n à k'=2n+1 , on doit déterminer une nouvelle décomposition optimale pour k' Le nouveau facteur « 2 » qui apparaît dans k' conduit à deux possibilités :
a – ce facteur « 2 » sera un nouveau facteur indépendant qui multiplie le développement (1).
Cela fera alors appel à un nouveau nombre premier, p
m+1 , qui suit p
m : s(2n) est multiplié par p
m+1
b - ce facteur « 2 » sera « incorporé » à l'un des facteurs : ai+1= 2a'i déjà présent dans la factorisation (1) Cela produit alors le nouveau facteur [2(ai+1)] = 2a'i+1 qui remplace (ai+1)
Dans ce cas le terme piai présent dans s(2n) est remplacé par pi2ai+1 et s(2n) est multiplié par piai+1 Plus précisément :
→ Sachant que s(k) est l'entier minimum recherché, le choix entre ces deux possibilités se fait en comparant p
m+1 à
pjaj+1 = Inf [piai+1 , i=1,..., m] c'est-à-dire le plus petit des termes piai+1 - si p
m+1 < pjaj+1 ===> s(2n+1) = s(2n) x p
m+1
- si p
m+1 > pjaj+1 , alors dans s(2n+1) le facteur pj2aj+1 se substitue au facteur pjaj de s(2n) et ===> s(2n+1) = s(2n) x pjaj+1
==> Dans les deux cas, il est clair que s(2n) divise s(2n+1)
