Bac S juin 2004 k ∈ ℕ. x est un entier naturel.

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Correction du travail maison 4 TS spé

Bac S juin 2004 k ∈ ℕ. x est un entier naturel.

 x – 11 x x

²

 x

^{k –1}

= xx

²

 x

³

 x

^{k –1}

 x

^k

– 1 – x – x

²

–  – x

^{k –}¹

= x

^k

– 1 a est un entier supérieur ou égal à 2.

n est un entier naturel et d un diviseur positif de n . Il existe donc k un entier tel que n=dk On applique la formule précédente à x= a

^d

, cela donne :

a

^d

– 11a

^d

a

^2d

a

^d^^{k –}^1

=a

^d



^k

– 1=a

^dk

– 1=a

ⁿ

– 1 , comme chaque facteur de l'égalité précédente est un entier, on a : a

^d

– 1× K =a

ⁿ

– 1 donc a

^d

– 1 est un diviseur de a

ⁿ

– 1 .

7= 2

³

– 1 ; 63= 2

⁶

– 1 et 2004 est à la fois un multiple de 3 et de 6. on peut donc appliquer le résultat du 2. a : 2

³

– 1 et 2

⁶

– 1 sont des diviseurs de 2

²⁰⁰⁴

– 1 . Puisque ⁶³ est un diviseur de

2

²⁰⁰⁴

– 1 , 9 qui divise 63 est également un diviseur de ₂

²⁰⁰⁴

_– ₁ . 3. m et n sont des entiers naturels non nuls et d = PGCD m ; n .

m ' et n ' sont définis par m= dm' et n=dn ' . D'après l'indication, on en déduit que m ' et n ' sont des nombres premiers entre eux. Ainsi, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs u ' et v ' tels que m ' u '  n' v ' = 1 . On multiplie l'égalité obtenue par d et on obtient :

m ' du ' n ' dv ' = d puis mu – nv= d en posant u=u ' et v =– v ' . On suppose que u et v sont strictement positifs.

a

^mu

– 1 –  a

^nv

– 1 a

^d

=a

^mu

– 1 – a

^nv

a

^d

a

^d

= a

^mu

– 1 – a

^nvd

a

^d

=a

^mu

– 1 – a

^mu

a

^d

= a

^d

– 1 en effet, d'après la question précédente, mu – nv =d donc mu=nv d

d divise m donc d divise mu , d'après la question 2. a : a

^d

– 1 divise a

^mu

– 1 . d divise n donc d divise nv , d'après la question 2. a : _a

^d

_– ₁ divise _a

^nv

_– ₁ .

De ce qui précède, on déduit que a

^d

– 1 est un diviseur commun de a

^mu

– 1 et a

^nv

– 1 . Pour être le PGCD, il doit être le plus grand.

Appelons D le PGCD de a

^mu

– 1 et de a

^nv

– 1 , montrons que D divise a

^d

– 1 .

D divise _a

^mu

_– ₁ et _a

^nv

_– ₁ donc D divise a

^mu

– 1 –  a

^nv

– 1 a

^d

(combinaison linéaire des nombres a

^mu

– 1 et a

^nv

– 1 ) et ^D divise a

^d

– 1 en vertu de l'égalité obtenue au ^3. ^b .

Ainsi D =a

^d

– 1 .

mu – nv =63 – 60=3=d donc PGCD  2

⁶³

– 1; 2

⁶⁰

– 1=2

³

– 1= 7 .

2009@My Maths Space.

1. 2.a.

2.b.

3.a.

3.b.

3.c.

Bac S juin 2004 k ∈ ℕ. x est un entier naturel.

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