Calculer, pour tout entier naturel n, la dérivée n-ième de x 6 x

PanaMaths Mars 2012

Calculer, pour tout entier naturel n, la dérivée n-ième de ^{x 6 x}

ⁿ

( ) ^{1 − x}

ⁿ

et en déduire la valeur de

2

0 n k

n

=

k

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ^.

Analyse

La formule de Leibniz nous « tend les bras » ! Une fois obtenue, on regardera attentivement chacun des termes de la somme …

Résolution

Posons : fn^:x6xⁿ

(

¹−x

)

ⁿ =gn

( )

x ×hn

( )

x avec gn

( )

x =xⁿ et hn

( ) (

x = −¹ x

)

ⁿ. Pour tout entier naturel k inférieur ou égal à n, on a, classiquement :

( )^k

( ) (

¹

)(

^{2 ...}

) (

¹

)

^{n k}

(

^!

)

^{! n k}

n

g x n n n n k x n x

n k

− −

= − − − + =

−

Et donc :

( )^k

( ) ( ) (

^{1k 1}

)(

^{2 ...}

) (

^{1 1}

)( )

^{n k}

( ) ( ) ( )

^{1 k ! ! 1 n k}

n

h x n n n n k x n x

n k

− −

= − − − − + − = − −

−

Il vient alors en utilisant la formule de Leibniz :

( )

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

( ) ( ) ( ( ) ) ^{( )}

^{( )}

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

0

2

0

! !

1 1

! !

! 1 ! 1

! !

! 1 1

n

n k n k

n n n

k

n n k n k n n k

k

n n k n k k

k

n n k n k k

k

f x n g x h x

k

n n n

x x

k n k n n k

n n

n x x

k k n k

n n x x

k

−

=

− − −

−

=

− −

=

− −

=

= ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ − − − − −

= − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ − −

= − ⎛ ⎞⎜ ⎟ −

⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

On a donc :

( )

( ) ( )

²

( )

0

, , ! 1 1

n n k k

n n k

n

k

n x f x n n x x

k

− −

=

∀ ∈ ∀ ∈ = − ⎛ ⎞⎜ ⎟ −

∑

⎝ ⎠

` \

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Intéressons-nous au coefficient de « xⁿ » de fn^{( )n}

( )

x .

On a d’abord : fn

( )

x =xⁿ

(

¹−x

)

ⁿ qui est une fonction polynomiale de degré 2n et dont le coefficient de « x²ⁿ » vaut

( )

^{−1 n}. On peut donc écrire : fn

( )

x =xⁿ

(

¹−x

) ( )

ⁿ= −^{1 n}x²ⁿ+r xn

( )

où r_n est une fonction polynomiale de degré 2n−1. Il vient alors :

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{( )}

( )

( ) ( ) ( ) ( )

^{( )}

( )

( ) ( )

^{( )}

( )

1 2 2 1 2 2 ... 2 1 2

1 2 2 1 2 2 ... 1

2 !

1 !

n n n n n

n n

n n n

n

n n n

n

f x n n n n n x r x

n n n n x r x

n x r x

n

= − × − × − × × − + − +

= − × − × − × × + +

= − +

Suivant cette première approche, le coefficient de « xⁿ » de fn^{( )n}

( )

x vaut :

( ) ( )

^{1 2 !}

!

n n

− n .

On a également obtenu : ^{( )}

( ) ( )

²

( )

0

! 1 1

n n k k

n n k

n

k

f x n n x x

k

− −

=

= − ⎛ ⎞⎜ ⎟ −

∑

⎝ ⎠ ^.

Cette somme comporte n+1 termes. Soit l’un d’eux :

( )

^{1 n kn! n 2xn k}

(

^{1 x}

)

^k

k

− ⎛ ⎞ −

− ⎜ ⎟ −

⎝ ⎠ .

Il s’agit d’une fonction polynomiale de degré

(

^{n k−}

)

^{+ =k n}. Le coefficient de « xⁿ » dans ce terme vaut donc

( )

^{1 n kn! n 2}

( ) ( )

^{1 k 1 nn! n 2}

k k

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟ × − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

Le coefficient de « xⁿ » de fn^{( )n}

( )

x selon cette autre approche vaut donc :

( )

²

0

1 !

n n

k

n n

= k

− ⎛ ⎞⎜ ⎟

∑

⎝ ⎠ En égalisant les deux coefficients obtenus, il vient :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

0 2

2 0

2 !

1 ! 1

! 2 !

!

n n n

k n

k

n n

n k n

n n

k n

=

=

− ⎛ ⎞⎜ ⎟ = −

⎝ ⎠

⇔ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

∑

∑

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Résultat final

La dérivée n-ième de la fonction ^x6xn

(

^1−x

)

ⁿ est la fonction définie par :

( )

²

( )

0

! 1 1

n n k n k k

k

x n n x x

k

− −

=

− ⎛ ⎞⎜ ⎟ −

∑

⎝ ⎠ 6

On a :

( ) ( )

2

2 0

2 !

!

n

k

n n

k n

=

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑