nest un entier naturel pair donc il existek∈Ntel que n= 2k

Spé Travail maison 1 _2011-2012

EXERCICE 1 : 1. 10≡ −1(11)

• nest un entier naturel pair donc il existek∈Ntel que n= 2k.

10≡ −1(11)⇔10^(2k)≡(−1)^(2k)(11)⇔10ⁿ≡1(11) car (−1)^(2k)= 1 ;

• nest un entier naturel impair donc il existek∈Ntel quen= 2k+ 1.

10≡ −1(11)⇔10^(2k+1)≡(−1)^(2k+1)(11)⇔10ⁿ≡ −1(11) car (−1)^(2k+1)=−1 ; 2. N =a_pa_p−1. . . a₂a₁a₀=a_p×10^p+a_p−1×10^p−1+. . .+a₁×10 +a₀.

a₀≡a₀(11)

10≡ −1(11) donc 10a1≡ −a1(11).

. . . .

10^p−1≡(−1)^p−1(11) donc 10^p−1a_p−1 ≡(−1)^p−1a_p−1(11).

10^p≡(−1)^p(11) donc 10^pa_p≡(−1)^pa_p(11).

Et donc grâce aux propriétés sur les congruences :

N ≡a₀−a1+a₂−. . .+ (−1)^p−1ap−1+ (−1)^pap(11), ce qui s’écrit aussi :N ≡(a0+a₂+...)−(a1+a₃+...)(11).

3. Or N divisible par 11 ⇔N ≡0(11) ⇔(a0+a2+...)−(a1+a3+...) ≡0(11) On en déduit qu’un entier N est divisible par 11 si, et seulement si, la différence entre la somme des chiffres d’indice pair et celle des chiffres d’indice impair dans son écriture en numération décimale est divisible par 11.

4. Application : Examiner la divisibilité par 11 des entiers 9240, 17523 et 2951765.

2 + 0≡9 + 4(11) donc 9240 est divisible par 11 ; 3 + 5 + 1≡7 + 2(11) donc 17523 est divisible par 11 ; 5 + 7 + 5 + 2 n’est pas congru à 9 + 1 + 6 donc 2951765 n’est pas divisible par 11.

EXERCICE 2 : a∈N(a6= 1) etn∈N.

Commea|42n+ 37 et a|7n+ 4,a|42n+ 37−6(7n+ 4)⇔a|13.

(propriété du cours sur la divisibilité : le choix du nombre 6 s’impose pour éliminer les "n") Or les seuls diviseurs de 13 sont 1 et 13. Commea6= 1, il ne reste quea= 13.

Il convient de déterminer ntels que :

13|7n+ 4

13|42n+ 37 ⇒13|42n+ 37−4(7n+ 4)⇔13|14n+ 21⇔13|7(2n+ 3) Comme 13 ne divise pas 7, 13|2n+ 3. Or commme 13|7n+ 4, on a (toujours grâce à la même propriété) : 13|7n+ 4−3(2n+ 3)⇔13|n−5.

Il existe donck∈Ntel que n−5 = 13k⇔n= 13k+ 5. En remplaçantnpar 13k+ 5, on vérifie que 13|42n+ 37.

Conclusion :a= 13 etn= 13k+ 5, k∈N

EXERCICE 3 :

1. La vérification est facile : pour toutn∈N, 5²ⁿ⁺²−4ⁿ⁺¹= 25(5²ⁿ−4ⁿ) + 21×4ⁿ. 2. Démonstration par récurrence∀n∈N, P_n: 5²ⁿ−4ⁿ est divisible par 7.

(a) Initialisation : n= 0.

5^2×0−4⁰= 1−1 = 0 et 0 est divisible par 7 doncP₀est vraie.

(b) Hérédité : On suppose la propriété vraie au rangk(kentier naturel), ce qui signifie que 5^2k−4^kest divisible par 7. Il existe donc un entier relatifstel que : 5^2k−4^k= 7s

Or d’après la question 1., 5^2k+2−4^k+1= 25(5^2k−4^k) + 7×3×4^k ⇔5^2k+2−4^k+1= 25×7s+ 7×3×4^k = 7(25s+ 3×4^k) qui est visiblement un multiple de 7. AinsiP_k+1 est vraie.

(c) Conclusion : D’après le principe du raisonnement par récurrence,∀n∈N, 5²ⁿ−4ⁿ est divisible par 7.

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