Lyc´ee Schuman Perret
Mars 2021 B´ezout Term Maths expert
Soit D= pgcd(a, b) il existe des entiers u et v tels que au+bv=D Notons H ={au+bv/u, v∈Z}, on remarque que :
• 0∈H
• sixetysont dans H alorsx=au+bv ety =au′+bv′ doncx−y=a(u−u′) +b(v−v′)∈H
• six∈H etk ∈Z alors kx=a×ku+b×vk ∈H
• On a a=a×1 +b×0∈H et−a=a×(−1) +b×0∈H donc G=H∩N∗ 6=∅
⊙ Puisque G est une partie deN∗, l’ensemble G admet un plus petit ´el´ement. On le note d. Il existe donc un couple (u, v) tel que d=au+bv
⊙ En divisant a par b, il existek, r∈Z tels que a=kd+r et 06r < d donc r=a−kd eta, kd∈H donc r∈H
or 06r < d et d est le plus petit ´el´ement strictement positif de H donc r= 0 donc a=kd donc d divise a
⊙ De la mˆeme fa¸con,d divise b donc d est un diviseur commun de a etb or Dest le plus grand diviseur commun de a et b donc d6D
⊙ D divise a et b donc D divise tous les au et tous les bv donc tous les au+bv or dest un au+bv donc Ddivise d donc D6d
⊙ Finalement d=D, il existe donc un couple (u, v) tel que D=au+bv
St´ephane Le M´eteil Page 1 sur 1
