Q1) Quel que soient les entiers positifs a et b on a, pour k impair, a

A552. Des diviseurs à gogo

Q Démontrer que l'entier 3₁ ¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ est divisible par 7,13,31,43,49,181 et 379 mais ne l'est pas par 5 ou 11 ou 17 ou 19.

Q Démontrer que chacun des entiers :₂ N = 2₁ ¹²⁵ + 1 048 576,

N = 3₂ ¹²⁵ + 3 486 784 401, N = 5₃ ¹²⁵ + 95 367 431 640 625

a un nombre de diviseurs distincts qui est un multiple de 2016.

Q1) Quel que soient les entiers positifs a et b on a, pour k impair, a^k + b^k est divisible par a + b:

a¹⁰⁵+b¹⁰⁵ = (a³)³⁵+ (b³)³⁵ = (a⁵)²¹+ (b⁵)²¹ = (a⁷)¹⁵+ (b⁷)¹⁵ , et a¹⁰⁵+b¹⁰⁵ = (a¹⁵)⁷+ (b¹⁵)⁷ = (a²¹)⁵+ (b²¹)⁵ = (a³⁵)³+ (b³⁵)³ . Ainsi 3¹⁰⁵+4¹⁰⁵ est divisible par 3+4, 3³+4³, 3⁵+4⁵, 3⁷+4⁷, 3¹⁵+4¹⁵, 3²¹+4²¹, 3³⁵+4³⁵.

3+4=7, 3³+4³= 91= 7*13, 3⁵+4⁵= 1267 = 7*181, 3⁷+4⁷= 18571 = 49*379, 3¹⁰⁵+4¹⁰⁵ est aussi divisible par 7.(3¹⁵+4¹⁵)/[(3⁵+4⁵)(3³+4³)] = 66061 = 31*2131 3¹⁰⁵+4¹⁰⁵ est aussi divisible par 7.(3²¹+4²¹)/[(3⁷+4⁷)(3³+4³)] = 18260509 = 43*424663

Résumé : 3¹⁰⁵+4¹⁰⁵ est divisible par chacun des sept nombres de l'énoncé : 7,13,181,49,379,31,43.

105 = 26*4 + 1 , 3⁴ ≡ 1 et 4⁴ ≡ 1 mod 5, 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ ≡ 3+4 ≡ 2

105 = 10*10+5 , 3¹⁰ ≡ 1 et 4¹⁰ ≡ 1 mod 11, 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ ≡ 3⁵+4⁵ = 1267 ≡ 7 – 6 +2 – 1 = 2 mod 17, 3¹⁶ ≡ 1, et 105 = 6*16+9, 3¹⁰⁵ ≡ 3⁹, 3³ ≡ 10, 3⁹≡ 10³ ≡ 14

4² ≡ – 1, 4¹⁰⁴ ≡ +1, 4¹⁰⁵ ≡ 4, 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ ≡ 14 + 4 = 18 ≡ 1 mod 19, 105 = 5*18 + 15, 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ ≡ 3¹⁵+4¹⁵

3⁴ ≡ 81 ≡ 5, 3⁸ ≡ 25 ≡ 6, 3³ ≡ 27 ≡ 8, 3¹⁵ = 3⁴ 3⁸ 3³ ≡ 5*6*8 =240 ≡ 12 4² =16 ≡ – 3, 4⁴ ≡ +9, 4⁸ ≡ 81 ≡ 5, 4⁹ ≡ 4*5 =20 ≡ 1, 4¹⁵ ≡ 4⁶ ≡ (–3)³ = –27 ≡ 11 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ ≡ 12 + 11 = 23 ≡ 4

Résumé : 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ n'est divisible par aucun des quatre entiers 5, 11, 17, 19.

Q2) N1, N2, N3 sont de la forme x¹²⁵ + x²⁰, avec x = 2, resp. x=3, x=5.

x¹²⁵ + x²⁰ = (x¹⁰⁵ + 1).x²⁰.

Si p et q sont deux nombres premiers, pour x= 2 ou 3 ou 5, on a aussi (x+1)(x^pq + 1)/[(x^p+1)(x^q+1)] est un entier diviseur de (x^pq + 1)

2¹⁰⁵ + 1 est divisible par 2+1, 2³+1, 2⁵+1 : 2¹⁰⁵ + 1 est divisible par 3, 9, 33 donc 11, 129 donc 43, 2¹⁰⁵ + 1 est aussi divisible par 3.(2¹⁵+1)/[( 2³+1)( 2⁵+1)] = 331 qui est premier.

2¹⁰⁵ + 1 est aussi divisible par 3.(2²¹+1)/[( 2³+1)( 2⁷+1)] = 5419 qui est premier.

2¹⁰⁵ + 1 est aussi divisible par 3.(2³⁵+1)/[( 2⁷+1)( 2⁵+1)] = 24214051 = 281*86171 Soit N'1 = 2²⁰.3².11.43.331.5419.281, le nombre de diviseurs de N'1 est 21.3.2⁵ = 2016.

N1 est multiple de N'1 donc N1 admet au moins 2016 diviseurs.

3¹⁰⁵ + 1 est divisible par 3+1, (3³+1)/4, (3⁵+1)/4 , (3⁷+1)/4 , : 3¹⁰⁵ + 1 est divisible par 4, 7, 61, 547 3¹⁰⁵ + 1 est aussi divisible par 4.(3¹⁵+1)/[( 3³+1)( 3⁵+1)] = 8401=31*271

Soit N'2 = 3²⁰.2². 7. 61. 547. 31. 271 , le nombre de diviseurs de N'2 est 21.3.2⁵ = 2016.

N2 est multiple de N'2 donc N2 admet au moins 2016 diviseurs.

5¹⁰⁵ + 1 est divisible par 5³+1 = 126 = 2*3²*7, par (5⁵+1)/6 = 521, par (5⁷+1)/6 =13021 = 29*449.

Soit N'3 = 5²⁰.3².2.7.521.29.449 , le nombre de diviseurs de N'2 est 21.3.2⁵ = 2016.

N3 est multiple de N'3 donc N3 admet au moins 2016 diviseurs.

Si p et q sont deux nombres premiers, pour x= 2 ou 3 ou 5, on a aussi (x+1)(x^pq + 1)/[(x^p+1)(x^q+1)] est un entier diviseur de (x^pq + 1)