2  tgA = 1/(2-1/tgC

D259 − La barre à 180°

Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

ABCD est un quadrilatère convexe dont AC est la plus grande distance entre deux sommets.

Peut-on avoir moins de 180° pour la somme des angles en B et D ?

Solution proposée par Jean-Louis Margot La réponse est OUI.

Je considère un quadrilatère en forme de cerf-volant. Les 2 diagonales sont perpendiculaires et le quadrilatère est symétrique par rapport à la diagonale AC. Dans le triangle ABC, je considère la hauteur AH. Le problème se réduit alors à trouver un exemple avec : 2*BH < AC et B<90

Dans le triangle ABC :

tgA= BH/AH  AH = BH/tgA tgC=BF/HC  HC= BH/tgC

donc AC=AH+HC= BH(1/tgA+1/tgC) > 2*BH  1/tgA+1/tgC > 2 (1) et B<90  180 –(A+C)<90  A+C>90 (2) Considérons les courbes

1/tgA+1/tgC > 2  tgA = 1/(2-1/tgC)  A = arctg(= 1/(2-1/tgC) Et

A = 90-C

On les traces à l’aide du freeware maxima:

plot2d([atan(1/(2- 1/tan(c))),float(%pi/2) - c],[c,0,float(%pi/2)-0.01]);

Les points au-dessus de la courbe en rouge et en dessous de la courbe en bleu conviennent.

Par exemple :

A=1,11073 B=0,463435  A+B= 1,574165 > π/2

Et 1/tgA+1/tgC=1/tg(1.11073) + 1/tg(0.463435)= 2.496594877071547 > 2