⭧ ⭨ ⭧ Solution D1873. To be or not to be

D1873. To be or not to be

Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?

Solution

Proposée par Fabien GIGANTE

Condition d’existence

On note 𝑎, 𝑏, 𝑐 les côtés du triangle ABC, 𝑝 son périmètre, 𝑠 son demi-périmètre, 𝑆 son aire, 𝑟 le rayon de son cercle inscrit, et 𝑅 le rayon de son cercle circonscrit.

Toutes ces quantités s’expriment en fonction des côtés de la façon suivante : 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑠 =𝑝

2

𝑆²= 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

𝑟 =𝑆

𝑠 𝑅 =𝑎𝑏𝑐

4𝑆 On calcule :

2𝑟𝑅𝑝 = 2 (𝑆 𝑠) (𝑎𝑏𝑐

4𝑆) (2𝑠) = 𝑎𝑏𝑐

𝑟²+𝑝²

4 + 4𝑟𝑅 =(𝑏 + 𝑐 − 𝑎)(𝑎 + 𝑐 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)

4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)³

4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 8𝑎𝑏𝑐 4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

=4𝑎²𝑏 + 4𝑎²𝑐 + 4𝑎𝑏²+ 4𝑎𝑐²+ 4𝑏²𝑐 + 4𝑏𝑐²+ 12𝑎𝑏𝑐 4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

=(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 On peut affirmer que 𝑎, 𝑏, 𝑐 sont les racines du polynôme :

𝑃 = (𝑋 − 𝑎)(𝑋 − 𝑏)(𝑋 − 𝑐) = 𝑋³− (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑋²+ (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)𝑋 − 𝑎𝑏𝑐

𝑃 = 𝑋³− 𝑝𝑋²+ (𝑟²+𝑝²

4 + 4𝑟𝑅) 𝑋 − 2𝑟𝑅𝑝

Le triangle ABC existe si et seulement si 𝑃 admet trois racines réelles positives.

Application numérique

Pour les valeurs 𝑝 = 134, 𝑟 = 12, 𝑅 = 27, il vient : 𝑃 = 𝑋³− 134 𝑋²+5929 𝑋 −86832

Une simple étude de fonction nous permet de conclure : 𝑃^′= 3X²− 268X + 5929 = (3X − 121)(X − 49)

𝑥 −∞ 121

3 49 +∞

𝑃(𝑥) −∞

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⭨

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𝑃 n’a qu’une seule racine réelle.

Un tel triangle ABC n’existe pas.

Complément

D’une façon générale, on peut se demander à quelles conditions sur 𝑝, 𝑟, 𝑅 un tel triangle ABC existe.

Le problème restant inchangé par homothétie, on considère 𝑟^′= 𝑟/𝑝 et 𝑅^′= 𝑅/𝑝.

Par un raisonnement analogue au cas particulier étudié précédemment, on calcule : 𝑄 = 𝑋³− 𝑋²+ (𝑟^′2+ 4𝑟^′𝑅^′+1

4) 𝑋 − 2𝑟′𝑅′

𝑄^′= 3𝑋²− 2𝑋 + (𝑟^′2+ 4𝑟^′𝑅^′+1 4) 12 𝑄^′= (6𝑋 − 2)²− (1 − 12𝑟^′(4𝑅^′+ r^′)) Les racines de 𝑄’ sont :

𝛼 =2 − √1 − 12𝑟^′(4𝑅^′+ r^′)

6 et 𝛽 =2 + √1 − 12𝑟^′(4𝑅^′+ r^′) 6

Le triangle ABC existe si et seulement si 𝑄(𝛼)≥ 0 et 𝑄(𝛽)≤ 0.

Les deux graphiques suivant illustrent la région délimitée par ces inégalités, ainsi que quelques valeurs particulières de 𝑝, 𝑟, 𝑅 issues de l’énoncé initial.

𝑟^′=𝑟

𝑝 𝑟^′=𝑟

𝑝 𝑅^′=𝑅

𝑝

𝑅^′=𝑅 𝑝

𝑟 = 12 𝑅 = 27 𝑝 = 134

𝑝 = 134

𝑝 = 136 𝑝 = 135

𝑟 = 12 𝑅 = 27