D1873. To be or not to be
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Condition d’existence
On note 𝑎, 𝑏, 𝑐 les côtés du triangle ABC, 𝑝 son périmètre, 𝑠 son demi-périmètre, 𝑆 son aire, 𝑟 le rayon de son cercle inscrit, et 𝑅 le rayon de son cercle circonscrit.
Toutes ces quantités s’expriment en fonction des côtés de la façon suivante : 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑠 =𝑝
2
𝑆2= 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
𝑟 =𝑆
𝑠 𝑅 =𝑎𝑏𝑐
4𝑆 On calcule :
2𝑟𝑅𝑝 = 2 (𝑆 𝑠) (𝑎𝑏𝑐
4𝑆) (2𝑠) = 𝑎𝑏𝑐
𝑟2+𝑝2
4 + 4𝑟𝑅 =(𝑏 + 𝑐 − 𝑎)(𝑎 + 𝑐 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3
4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 8𝑎𝑏𝑐 4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
=4𝑎2𝑏 + 4𝑎2𝑐 + 4𝑎𝑏2+ 4𝑎𝑐2+ 4𝑏2𝑐 + 4𝑏𝑐2+ 12𝑎𝑏𝑐 4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
=(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 On peut affirmer que 𝑎, 𝑏, 𝑐 sont les racines du polynôme :
𝑃 = (𝑋 − 𝑎)(𝑋 − 𝑏)(𝑋 − 𝑐) = 𝑋3− (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑋2+ (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)𝑋 − 𝑎𝑏𝑐
𝑃 = 𝑋3− 𝑝𝑋2+ (𝑟2+𝑝2
4 + 4𝑟𝑅) 𝑋 − 2𝑟𝑅𝑝
Le triangle ABC existe si et seulement si 𝑃 admet trois racines réelles positives.
Application numérique
Pour les valeurs 𝑝 = 134, 𝑟 = 12, 𝑅 = 27, il vient : 𝑃 = 𝑋3− 134 𝑋2+5929 𝑋 −86832
Une simple étude de fonction nous permet de conclure : 𝑃′= 3X2− 268X + 5929 = (3X − 121)(X − 49)
𝑥 −∞ 121
3 49 +∞
𝑃(𝑥) −∞
⭧
−190427⭨
−396⭧
+∞𝑃 n’a qu’une seule racine réelle.
Un tel triangle ABC n’existe pas.
Complément
D’une façon générale, on peut se demander à quelles conditions sur 𝑝, 𝑟, 𝑅 un tel triangle ABC existe.
Le problème restant inchangé par homothétie, on considère 𝑟′= 𝑟/𝑝 et 𝑅′= 𝑅/𝑝.
Par un raisonnement analogue au cas particulier étudié précédemment, on calcule : 𝑄 = 𝑋3− 𝑋2+ (𝑟′2+ 4𝑟′𝑅′+1
4) 𝑋 − 2𝑟′𝑅′
𝑄′= 3𝑋2− 2𝑋 + (𝑟′2+ 4𝑟′𝑅′+1 4) 12 𝑄′= (6𝑋 − 2)2− (1 − 12𝑟′(4𝑅′+ r′)) Les racines de 𝑄’ sont :
𝛼 =2 − √1 − 12𝑟′(4𝑅′+ r′)
6 et 𝛽 =2 + √1 − 12𝑟′(4𝑅′+ r′) 6
Le triangle ABC existe si et seulement si 𝑄(𝛼)≥ 0 et 𝑄(𝛽)≤ 0.
Les deux graphiques suivant illustrent la région délimitée par ces inégalités, ainsi que quelques valeurs particulières de 𝑝, 𝑟, 𝑅 issues de l’énoncé initial.
𝑟′=𝑟
𝑝 𝑟′=𝑟
𝑝 𝑅′=𝑅
𝑝
𝑅′=𝑅 𝑝
𝑟 = 12 𝑅 = 27 𝑝 = 134
𝑝 = 134
𝑝 = 136 𝑝 = 135
𝑟 = 12 𝑅 = 27
