D1873. To be or not to be
Th´eor`eme dit ”porisme de Poncelet-Darboux”:
Si un polygone `a ncˆot´es est inscrit dans une 1`ere conique et circonscrit `a une 2`eme conique, il y a une infinit´e de polygones `a ncˆot´es dot´es de la mˆeme pro- pri´et´e, et tout point de la 1`ere conique est sommet d’un tel polygone.
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Γ1, centreO1, rayonR Γ2, centreO2, rayonr d=O1O2
En vertu du porisme de Poncelet, s’il existe un triangle inscrit dans Γ1 et cir- conscrit `a Γ2, tout point deΓ1est le sommet d’un tel triangle. En particulier pour que le pointAsitu´e `a l’intersection deΓ1et de la droiteO1O2du cˆot´e de O2, soit un tel sommet, une relation entreR,retddoit ˆetre respect´ee. On va
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etablir cette relation en consid´erant que dans le triangle rectangleABD,BO2
est la bissectrice de ABD, d’o`\ u : BD
O2D = BA O2A On obtient l’´equation
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r2(2R(R+r−d)) = (R−d)2(R2−(r−d)2)
AvecR= 27cmet r= 12cm, l’´equation a la solution exacted= 9cm.
Le triangle ABC a un p´erim`etre de 134,1641cm et on v´erifie `a l’aide de G´eog´ebra que le p´erim`etre est minimal quandA est sommet d’un triangle in- scrit dansΓ1et circonscrit `a Γ2.
Le probl`eme pos´e n’a donc pas de solution.
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