D1873. To be or not to be
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Solution Le demi-périmètre est égal à 67 cm. Soit p ce demi-périmètre.
Afin de ne pas alourdir l’écriture des formules, nous allons considérer que p est notre longueur unité (p=1) En conséquence, avec cette unité : r = 12/67 et R = 27/67
Toujours avec cette unité, utilisons les formules classiques du triangle (a, b et c sont les 3 côtés du triangle) : a+b+c = 2 [1]
D’après la formule de Héron, la surface du triangle est : S = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) = √(1 − 𝑎)(1 − 𝑏)(1 − 𝑐) Le rayon du cercle inscrit est : r = 𝑝𝑆 = S
Soit en utilisant la formule de Héron : r = √(1 − 𝑎)(1 − 𝑏)(1 − 𝑐) [2]
Rayon du cercle circonscrit issu de la formule des sinus : R = 𝑎𝑏𝑐4𝑆 = 𝑎𝑏𝑐4𝑟 Donc abc = 4rR , soit abc = 129667² ou en posant k = 1296/67², abc = k [3]
De plus avec les égalités triangulaires on sait que : 0<a<1 0<b<1 0<c<1 [4]
Avec [1] et [3], nous connaissons la somme et le produit des côtés du triangle.
Prenons la longueur du côté c comme paramètre pris dans la plage [0;1]
Alors a+b = 2-c [5] et ab = 𝑘𝑐 [6]
Connaissant la somme et le produit de a et b, la résolution classique est fournie par l’équation : x² -(2-c)x+k/c = 0, dont les solutions à retenir doivent être réelles et dans la plage [0;1]
Le déterminant doit être positif ou nul :
∆(c)= c2 - 4c + 4 - 4k/c) ≥ 0
c étant positif dans la plage [0;1], cela revient à étudier le signe de la fonction du 3ème degré suivante : y = c3-4c2+4c-4k ≥ 0
Ce qui impose pour c la plage suivante : 0,5470 < c < 0,7939 Quand cela est vérifié : a = 2−𝑐−√∆(c)
2 et b = 2−𝑐+√∆(c)
2
Mais il reste à vérifie s’il existe une valeur de c dans cette plage permettant de vérifier l’équation [2] qui exige que
√(1 − 𝑎)(1 − 𝑏)(1 − 𝑐) – r = 0
Faisons par facilité de calcul la différence des carrés de ces 2 quantités Il faut alors déterminer si une valeur de c permet que :
A(c) =(1-a)(1-b)(1-c) - r² soit nul .
A(c) = (1-(a+b)+ab)(1-c)-r² = (c – 1 + 1296
𝑐.67² )(1-c) - 12²
67² (en utilisant [5] et [6]) Cela amène en développant à chercher si la quantité suivante B peut devenir nulle :
c.A(c ) = B(c) = c3 - 2c2 + c 59294489 - 12964489
Cherchons les extremums de B(c) avec sa dérivée : B’(c) = 3c2 - 4c + 5929
4489 qui permet d’obtenir les 2 valeurs suivantes : Maximum pour c1 = 0,602 et minimum pour c2 = 0,731
D’où le tableau suivante pour B(c) :
Bien que très proche de zéro, B(c) ne devient jamais nul.
Donc il n’existe pas de triangle ABC satisfaisant aux 3 conditions.
Mais si on abaisse par exemple la condition sur le cercle inscrit à 11,96, il existe des solutions avec par exemple les valeurs suivantes : a = 40,1 b = 53,7 c = 40,2 (arrondies et à une permutation près).
Michel Goudard
c 0,5470 0,602 0,731 0,7939
B(c) x 100 000
98,7 -
23,4 -
131,7 -
31,3 -
