Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Notons a, b, c les cotés du triangle, p son demi-périmètre, R et r les rayons des cercles circonscrit et inscrit, et S son aire. Si un tel triangle existait, nous aurions R=abc/4S et S=rp, donc abc=4prR ; par ailleurs a+b+c=2p : b et c seraient racines de l’équation x2-(2p-a)x+4prR/a=0 ; posons d2=(p-a/2)2-4prR/a ; alors b=p-a/2+d, c=p-a/2-d p-b=a/2-d, p-c=a/2+d et S2=p(p-a)(p-b)(p-c)=p(p-a)(a2/4-d2)
soit S2=p(p-a)(4prR/a+a2/4-(p-a/2)2)=p(p-a)(4prR/a+pa-p2) ou
S2=4p3rR/a-p4-4p2rR+2p3a-p2a2 : en la dérivant, on voit que cette expression passe par un minimum si -4p3rR/a2+2p3-2pa=0 ; ce qui numériquement donne a voisin de 40,4 cm et une valeur de S supérieure à 808, qui ne peut donc être égale à rp=804.
Un tel triangle n’existe donc pas.
