Diophante D1873 To be or not to be
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Soient a, b et c les côtés du triangle en centimètres (ils ne sont pas forcément entiers).
a + b + c = 134.
abc = 4 x 27 x (12 x 67) = 86832 [Loi des sinus].
(12 x 67)2 = 67(67 – a)(67 – b)(67 – c) [formule de Héron] donne ab + bc + ca = 5929 (= 772).
Les côtés du triangle sont les solutions de l’équation f(X) = X3 – 134X2 + 5929X – 86832 = 0.
La fonction f varie de – ∞ à + ∞ en passant par un maximum lorsque X = 121/3 puis un minimum lorsque X = 49, ces deux valeurs prises par X étant les solutions de f’(X) = 3X2 – 268X + 5929 = 0.
f(121/3) = – 1904/27 et f(49) = – 396, donc l’équation f(X) = 0 n’a qu’une solution réelle (supérieure à 49).
Le triangle ABC n’existe pas.
Jean-Louis Legrand
