Diophante D 2908 Une perle de Victor Thébault
On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k >
6) et de k sommets A1,A2,...,Ak.
Soient O1 la point symétrique de O par rapport à la corde A1Ak-1 et O2 le symétrique de O par rapport à la corde A2A6.
O1O2 a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (Γ).
Déterminer k.
Prenons le repère orthonormé centré sur O dans lequel l'afxe de O1 est 2 Cos(2π/k) et dans lequel l'afxe de O2 est 2 Cos(4π/k) e8πi/k
(Ak a pour coordonnées (1 ; 0) et le polygone est numéroté dans le sens anthoraire).
Le carré du module de la diférence de ces deux afxes doit être 3 : 4 Cos2(2π/k) + 4 Cos2(4π/k) – 8 Cos(2π/k) Cos(4π/k) Cos(8π/k) = 3.
D'une part, 8 Cos(2π/k) Cos(4π/k) Cos(8π/k) = 4 Sin(4π/k) Cos(4π/k) Cos(8π/k) / Sin(2π/k)
= 2 Sin(8π/k) Cos(8π/k) / Sin(2π/k) = Sin(16π/k) / Sin(2π/k).
D'autre part, 4 Cos2(2π/k) + 4 Cos2(4π/k) – 3 = (2 Cos2(4π/k) – 1) + 4 Cos2(2π/k) Cos(4π/k)
= Cos(8π/k) + Cos(2π/k) Sin(8π/k) / Sin(2π/k) = Sin(10π/k) / Sin(2π/k).
D'où Sin(16π/k) = Sin(10π/k).
16π/k = 10π/k + 2λπ soit k = 3/λ qui ne donne rien (k > 6).
16π/k + 10π/k = π + 2λπ soit k = qui donne k = 26.
Le polygone est l'icosikaihexagone régulier.
Jean-Louis Legrand
