D2908. Une perle de Victor Thébault
On inscrit dans un cercle (𝛤) de centre 𝑂 et de rayon unité un polygone régulier de 𝑘 côtés (𝑘 > 6) et de 𝑘 sommets 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘.
Soient 𝑂1 le point symétrique de 𝑂 par rapport à la corde 𝐴1𝐴𝑘−1 et 𝑂2 le symétrique de 𝑂 par rapport à la corde 𝐴2𝐴6.
𝑂1𝑂2 a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (𝛤).
Déterminer 𝒌.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
On choisit un repère du plan complexe tel que :
𝑂 = 0, 𝐴𝑖= 𝑧𝑖 où 𝑧 = 𝑒2𝑖𝜋⁄𝑘 On a alors :
𝑂1= 𝑧 + 𝑧−1, 𝑂2= 𝑧2+ 𝑧6
𝑂1𝑂2= |𝑂2− 𝑂1| = |𝑧6+ 𝑧2− 𝑧 − 𝑧−1| = √3 (𝑧6+ 𝑧2− 𝑧 − 𝑧−1)(𝑧̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 3 6+ 𝑧2− 𝑧 − 𝑧−1 3 − (𝑧6+ 𝑧2− 𝑧 − 𝑧−1)(𝑧−6+ 𝑧−2− 𝑧−1− 𝑧) = 0
3𝑧7+ (𝑧7+ 𝑧3− 𝑧2− 1)(𝑧7+ 𝑧5− 𝑧4− 1) = 0
𝑧14+ 𝑧12− 𝑧11+ 𝑧10− 𝑧9+ 𝑧8− 𝑧7+ 𝑧6− 𝑧5+ 𝑧4− 𝑧3+ 𝑧2+ 1 = 0 (𝑧2+ 𝑧 + 1)(𝑧12− 𝑧11+ 𝑧10− 𝑧9+ 𝑧8− 𝑧7+ 𝑧6− 𝑧5+ 𝑧4− 𝑧3+ 𝑧2− 𝑧 + 1) = 0
(𝑧3− 1
𝑧 − 1) (𝑧13+ 1 𝑧 + 1 ) = 0 𝑧3= 1 ou 𝑧13= −1
𝑘 = 3 ou 𝑘 = 26 Or 𝑘 > 6, on conclut finalement :
𝑘 = 26
