Problème proposé par David Draï
Le quadrilatère ABCD!est tel que le milieu de BC est le centre d’un demi-cercle tangent aux trois côtés AB, CD et DA. Exprimer la longueur BC en fonction de AB et CD.
Soit O le milieu de BC, centre du demi-cercle et M, N et P les points de contact du demi-cercle avec AB, CD et AD. B et C étant symétriques par rapport à l’axe du demi-cercle, ∠ABC=∠BCD.
De plus, ∠BAO=π/2-∠AOM=π/2-∠AOP ; de même ∠CDO=π/2-∠DOP et
∠AOP+∠DOP=∠AOD=∠MON/2=(∠ABC+∠BCD)/2=∠ABC.
Donc ∠BAO+∠CDO=π-∠ABC, soit ∠BAO=∠DOC et ∠CDO=∠AOB : les triangles AOB et ODC sont semblables après retournement.
Donc OB/AB=CD/OC soit BC2=4AB.CD
