On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets A₁,A₂,...,Ak.
Soient O₁ la point symétrique de O par rapport à la corde A₁Ak-1 et O₂ le symétrique de O par rapport à la corde A₂A₆.
O₁O₂ a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (Γ).
Déterminer k.
Si Ak est sur l’axe des abscisses, le vecteur OAi a pour angle polaire 2πi/k ; OO1 a pour angle polaire 0, pour module 2cos(2π/k), tandis que OO2 a pour angle polaire 8π/k et pour module 2cos(4π/k) :
Donc O1O22/4 =(cos(2π/k)-cos(4π/k)cos(8π/k))2+cos2(4π/k)sin2(8π/k) O1O22/4 =cos2(2π/k)-2cos(2π/k)cos(4π/k)cos(8π/k)+cos2(4π/k)
Si nous posons x=2π/k
2cos2x=1+cos2x, 2cos22x=1+cos4x, 2cosx*cos2x=cosx+cos3x, 2cosx*cos4x=cos3x+cos5x, 2cos3x*cos4x=cosx+cos7x donc O1O22/2=2+cos2x+cos4x-(cosx+cos3x+cos5x+cos7x)
si z=eiπ/13 , z13+1=0 et comme (z+1)≠0, z12-z11 +... -z+1=0, donc sa partie réelle cos(12π/13)-cos(11π/13)+...-cosπ/13+1=0 ; or cos (pπ/13)=-cos((13-p)π/13), et cos(π/13)-cos(2π/13)+cos(3π/13)-cos(4π/13)+cos(5π/13)+cos(7π/13)=1/2.
Donc pour x=π/13, 2+cos2x+cos4x-(cosx+cos3x+cos5x+cos7x)=2-1/2=3/2.
Soit O1O22=3 : pour k=26, O1O2 a la dimension du coté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
