D2908. Une perle de Victor Th´ ebault
−−−→O1O2= 2−−−−→
M1M2= −−−−−→
Ak−1A6+−−−→
A1A2=−−−−→
Ak−1B
On constate queBest sur le cercle de centreAk−1et de rayon√
3pourk= 26, et il reste `a v´erifier ce r´esultat par le calcul en r´esolvant le triangle OO1O2, grˆace `a une ruse de Sioux aimablement communiqu´ee par Diophante.
Avecα=A\2OA1/2 =π/26, et la formule d’Al-Kashi : cˆot´e 1 : 2cos2α
cˆot´e 2 : 2cos4α angle : 8α
O1O22= 4cos22α+ 4cos24α−8cos2α×cos4α×cos8α La ruse : multiplier `a gauche et `a droite par sin2α
4cos22α= 2cos4α+ 2
2cos4α×sin2α=sin6α−sin2α 4cos24α= 2cos8α+ 2
2cos8α×sin2α=sin10α−sin6α
4cos22α+ 4cos24α= 4 +sin10α−sin2α
1
8cos2α×cos4α×cos8α×sin2α= 4sin4α×cos4α×cos8α
= 2sin8α×cos8α
=sin16α
O1O22×sin2α= 4sin2α+sin10α−sin2α−sin16α
= 3sin2α+sin10α−sin16α
= 3sin2α (puisque10α+ 16α=π) O1O2=p
(3) C.Q.F.D.
Remarque : il existe 5 autres configurationsA1Ai etAjAk du polygone `a 26 cˆot´es (plus les 6 sym´etries par rapport `a l’axeA1A14) avec la mˆeme longueur deO1O2. Elles sont obtenues en prenant les sommets `a partir de A15 par 5, 9 par 9, 17 par 17, 21 par 21, et 25 par 25 :
1: A25−A1 A2−A6
2: A17−A1 A6−A26
3: A9−A1 A10−A20 (4 correspond au diam`etreA1A14) 5: A19−A1 A18−A8
6: A11−A1 A22−A2 7: A3−A1 A26−A22 8: A21−A1 A4−A16
9: A13−A1 A8−A10
10: A5−A1 A12−A4
11: A23−A1 A16−A24
12: A15−A1 A20−A18
13: A7−A1 A24−A12
2
