Enoncé D2908 (Diophante) Une perle de Victor Thébault On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets A

Enoncé D2908 (Diophante) Une perle de Victor Thébault

On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier dek côtés (k >6) et de k sommetsA1, A2, . . . , A_k.

Soient O₁ le point symétrique de O par rapport à la corde A₁Ak−1 etO₂ le symétrique de O par rapport à la cordeA2A6.

O1O2 a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (Γ).

Déterminer k.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Les côtésA_iA_i+1 du polygone sont vus de O sous l’angle 2α= 2π/k.

OA₁O₁A_k et OA₆O₂A₂ sont des losanges de côté 1 ; OO₁ est dirigé selon OA_k et a pour longueur 2 cos(2α). De même,OO₂ est dirigé selonOA₄ et a pour longueur 2 cos(4α).

L’angleO₁OO₂ = 8α, et par Al-Kashi

O₁O²₂ = 4 cos²(2α) + 4 cos²(4α)−8 cos(2α) cos(4α) cos(8α).

Transformant les produits en sommes

O₁O²₂ = 2 + 2 cos(4α) + 2 + 2 cos(8α)−4 cos(4α)(cos(6α) + cos(10α))

= 4+2 cos(4α)+2 cos(8α)−2 cos(10α)−2 cos(2α)−2 cos(14α)−2 cos(6α).

O1O²₂cosα= 4 cosα+ cos(3α) + cos(5α) + cos(7α) + cos(9α)−cos(9α)− cos(11α)−cos(3α)−cosα−cos(13α)−cos(15α)−cos(5α)−cos(7α)

= 3 cosα−cos(11α)−cos(13α)−cos(15α)

= 3 cosα−cos(13α)(1 + 2 cos(2α)).

AinsiO1O₂²= 3−cos(13α)(1 + 2 cos(2α))

cosα .

Comme le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité est 2 sin(π/3) =√

3, la condition de l’énoncé s’écritO₁O₂²= 3.

Commek >6, 1 + 2 cos(2α)>2>0 et il faut cos(13α) = 0, d’où k= 26.