A 2908 Une perle de Victor Thébault

A 2908 Une perle de Victor Thébault Solution proposée par Pierre Renfer 1) Mise en équation

On choisit le repère cartésien orthonormé tel que les sommets du polygone aient les affixes complexes suivantes :

1 :

A₁ ^k

i2

2: e A



^k

i10

6: e A



^k

i4

1 k : e A

 



Les points O₁et O₂ ont pour affixes : ^k

i2 k

i4

1 e

k cos 2 2 e

1 : O

 

 





 



  



k i6 k

i10 k

i2

2 e

k cos 4 2 e

e : O











 



  



La longueur du côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique est égale à 3 . La condition du problème s'écrit donc :

k 3 cos 8 k

cos 4 k

cos 2 k 8

cos 2 k 4

cos 4 4

k e cos 2 2 k e

cos 4 2 k e

cos 2 2 k e

cos 4 2 O

O

2 2

k i2 k

i6 k

i2 k

i6 2

2 1





 



  



 



  



 



  



 



  



 



  











 



 



  





 



  











 



 



  





 



  



 

 



En posant : 



 



   k cos 2 2

x , on obtient : x 2

k cos 4

2  ²



 



  et (x 2) 2 x 4x 2

k cos 8

2  ² ²   ⁴  ² 



 



 

La condition du problème s'écrit : x⁷6x⁵x⁴10x³3x²4x10 Le polynôme du septième degré admet la racine évidente -1.

On obtient la factorisation : (x1)(x⁶ x⁵ 5x⁴ 4x³ 6x²3x1)0

Il s'agit donc d'étudier les racines du polynôme P(x)x⁶ x⁵ 5x⁴ 4x³ 6x²3x1

2) Solution du problème

Le polynôme cyclotomique _n(X) admet comme racines les (n) racines n^ièmes primitives de l'unité, où  désigne l'indicatrice d'Euler.

Les doubles des parties réelles de ces racines sont les racines d'un P_n(X), de degré 2

) n

(

Notre polynôme P(X) coïncide peut-être avec P_n(X), pour un entier n tel que (n)12 Cinq entiers n sont possibles : 13, 26, 21, 28 et 36.

Les polynômes P₂₆(X) et P₁₃(X) sont liés par la relation : P₂₆(X)P₁₃(X) Essayons l'entier 13 :

1 X X X X X X X X X X X X ) X

( ^{12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2}

13             



En divisant ce polynôme par X et en posant ⁶

X X 1

U  , on obtient :

1 U 3 U 6 U 4 U 5 U U ) U (

P₁₃  ⁶  ⁵  ⁴  ³  ²  Notre polynôme P(X) coïncide donc avec P₂₆(X).

On conclut que l'entier k du problème est 26.