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D10436. Equidistances Soit un triangle

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Academic year: 2022

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D10436. Equidistances

Soit un triangle ABC isocèle rectangle en C. Sur les côtés CA et CB on prendDetE tels queCD =CE. Les perpendiculaires abaissées respective- ment deD etC surAE coupent l’hypoténuse AB en K etL. Prouver que KL=LB.

Solution

Une rotation de π/2 autour de C amène le triangle ECA en DCF; DF, perpendiculaire à EA, passe parK; CF, perpendiculaire à CA, passe par B; ainsiF est l’intersection deDK etBC. CommeCF =CA=CB,C est le milieu deBF et on conclut par Thalès.

Jean Tutenuit et Bernard Legrand construisent l’orthocentreH du triangle ABE; d’une part (Tutenuit), le triangle BCH est égal au triangle ACE; d’autre part (Legrand), la hauteur HE est perpendiculaire à AB, l’angle CHE vaut 45°, et CHE est rectangle isocèle. AinsiC est milieu de DH et on conclut par Thalès.

Jean-Nicolas Pasquay généralise le problème : siD et E sont pris arbitrai- rement surCA etCB, on obtient LB/LK=CE/CD.

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