D10282. Triangle sp´ ecial
Soit un triangleSAB tel que les angles (SA, SH) et (SM, SB) sont ´egaux, SHetSM´etant la hauteur et la m´ediane issues deS. Montrer que les cˆot´es SAet SB sont ´egaux ou perpendiculaires.
Solution
SoitC l’intersection deAS et de la m´ediatrice deAB.
(SM, SB) = (SA, SH) = (CA, CM) = (CM, CB), car le triangle CAB est isoc`ele de hauteurCM.
Donc B, C, M, S sont cocycliques et BC est un diam`etre du cercle, car (M B, M C) est droit. Si S est confondu avec C, SAB est isoc`ele ; sinon, (SB, SC) = (M B, M C) =π/2 et SAB est rectangle enS.
Remarque
Pos´ee en angles non orient´es, la conditionASHd =M SBd peut ˆetre satisfaite par des triangles d’autres formes. Supposons H, A, M, B dans cet ordre sur AB et notons (SH, SA) =a= (SM, SB) et (SH, SB) =b.
On a alors HA +HB = 2HM, d’o`u tana + tanb = 2 tan(b−a), soit tanb+ 3 cotb= 2 cot(2a).
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