D1873. To be or not to be

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D1873. To be or not to be

Existe – t – il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimétres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres?

Solution (proposè par Daniel Văcaru, Piteşti, Roumanie)

Une condition necessaire et suffisante pour existence d'une triangle avec semipérimètre s, le rayon du cercle inscrit r et le rayon du cercle circonscrit R est

On a s=134

2 =67cm . On obtient

2⋅27²+10⋅12⋅27−12²−2(27−2⋅12)

√

²⁷²⁻²^⋅¹²^⋅^27≤67²^≤2^⋅²⁷²⁺¹⁰^⋅¹²^⋅²⁷⁻¹²²⁺²⁽²⁷⁻²^⋅¹²⁾

√

²⁷²⁻²^⋅¹²^⋅^{27 , qui}

est echivalente à 4500≤67²≤4608 , assertion false, parce que 67²=4489 . Il n'existe pas un triangle avec le

périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimétres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres.