D1873**** - To be or not to be
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Proposition de Marc Humery
1/ Données d’un triangle ABC hypothétique 2p = 134 cm = périmètre
r = 12 cm = rayon du cercle inscrit R = 27 cm = rayon du cercle circonscrit
2/ Comment montrer l’existence d’un triangle
On ne peut construire un triangle de côtés a, b, c que si les inégalités suivantes sont assurées : a < b + c ; b < a + c ; c < a + b (p-a) > 0 ; (p-b) > 0 ; (p-c) > 0 avec 2p = (a+b+c)
Les formules issues de la topologie et de la métrique du triangle peuvent nous aider à établir l’existence ou non des grandeurs a, b, c.
On va utiliser différentes expressions de l’aire S du triangle pour extraire 3 grandeurs a, b, c susceptibles d’être les côtés d’un triangle.
3/ Expressions usuelles de l’aire S du triangle
+ S² = p(p-a)(p-b)(p-c) > 0 => S²/p = p3 -(a+b+c)p² + (ab+bc+ca)p -abc > 0 (1) + S = pr (2)
+ S = abc/4R (3)
On a construit un système de 3 équations à 3 inconnues a, b, c qui apparaissent sous forme de polynômes symétriques élémentaires 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3.
4/ Expression de 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 en fonction de p, r, R 𝜎1 = (a+b+c) = 2p ; 𝜎3 = abc = 4Rrp
Expression de 𝜎2 = (ab+bc+ca)
S²/p = p²r²/p = pr² = p3-(a+b+c)p²+(ab+bc+ca)p-abc = p3-2p3+𝜎2p-4Rrp = p(-p²-4Rr+𝜎2) 𝜎2 = (p²+4Rr+r²)
Résumé :
𝜎1 = (a+b+c) = 2p = 134
𝜎2 = (ab+bc+ca) = (p²+4Rr+r²) = 5 929 = 77² 𝜎3 = abc = 4Rrp = 86 832
5/ Étude d’une fonction polynomiale f(x) de degré 3
Les inconnues a, b, c sont les zéros de la fonction polynomiale f(x) = x3-𝜎1x²+ 𝜎2x-𝜎3 f(x) = x3 -134x² + 5 929x -86 832
f’(x) = 3x² -268x + 5 929 = 0 pour x1 = 121/3 = 40,333 et x2 = 49 Tableau des variations de la fonction f(x)
x 0 40 40,333… 41 49 53 53,726 465 54
f’(x) + + 0 - 0 + + +
f(x) -86 832 -72 -70,518 518 -76 -396 -124 0 54
↗ ↗ Maxi < 0 ↘ Mini < 0 ↗ ↗ ↗
Ce tableau montre que f(x) ne peut s’annuler qu’une seule fois en x = 53,726 465 749
Il n’existe qu’une seule valeur réelle donc insuffisante pour valider l’existence de 3 côtés a, b, c Conclusion : Le triangle ABC n’existe pas
