Diophante D2906 Le pentagone cyclophile
On prolonge les cinq côtés d'un pentagone convexe ABCDE de manière à former une étoile à cinq branches AHBKCLDMEN. On trace les
cercles circonscrits aux cinq triangles qui forment les branches de l'étoile. Démontrer que les cinq points d'intersection de ces cercles autres que les sommets du pentagone sont cocycliques.
Considérons les afxes du plan complexe et rappelons que les quatre points z1, z2, z3 et z4 sont cocycliques ou alignés si, et seulement si, le birapport [(z1 – z3)/(z2 – z3)] / [(z1 – z4)/
(z2 – z4)] est réel (ceci se montre avec les propriétés des arguments).
Soient quatre cercles du plan C1, C2, C3 et C4 tels que C1 coupe C2 en deux points t1 et u1, qui coupe C3 en deux points t2 et u2, qui coupe C4 en deux points t3 et u3, qui coupe C1 en deux points t4 et u4. Si les quatre points t sont alignés ou cocycliques, alors les quatre points u le sont également (ceci se montre en calculant avec les birapports).
Soient quatre droites sécantes deux à deux. Les cercles circonscrits aux quatre triangles défnis par ces droites sont concourants en un point que nous qualiferons de « central ».
Soient cinq droites sécantes deux à deux. Les cinq points « centraux » des cinq quadruplets possibles formés à partr de ces droites sont cocycliques ou alignés.
Les intersectons des cercles circonscrits aux triangles externes successifs d'une étoile à cinq branches sont cocycliques.
Jean-Louis Legrand
