D1979 Deux lieux en terres équilatérales.
Etant donné un triangle équilatéral ABC, pour tout point M de son plan on construit les symétriques A', B' , C' de M par rapport aux côtés respectifs BC,CA,AB.
1) Montrer que les droites AA',BB',CC' sont concourantes en un point M' ou sont parallèles.
2) Quel est le lieu des points M tels que AA',BB',CC' sont parallèles ? 3) Quel est le lieu du point M' lorsque M décrit une droite (D) ?
Q1) Soit ABN l'autre triangle équilatéral dont un côté est AB, (AB médiatrice de CN ). O un point quelconque du plan. Si ( en vecteurs ) on a (u+v+w) OM = u OA+ v OB+ w OC,
alors (u+v+w) OC' = u OA + v OB + w ON = u OA + v OB + w (OA+OB – OC).
Dans le repère de coordonnées barycentriques (A, B, C), celles de M étant (u, v, w) , celles de C' sont : (u+w, v+w, – w) .
La droite CC' joint les points (0, 0, 1) et (u+w, v+w, – w), son équation est (v+w)x – (u+w)y = 0 Les trois équations (v+w)x – (u+w)y = 0, (w+u)y – (v+u)z = 0, (u+v)z – (w+v)x = 0 sont
linéairement dépendantes , donc les droites AA', BB', CC' ( si elles existent ), sont concourantes en un point M' ou sont parallèles.
Q2) Coordonnées de ce point M' : x=(u+w)(u+v), y=(v+u)(v+w), z=(w+v)(w+u) . Le point M' est à l'infini équivaut à : x+y+z = 0, ou (u+w)(u+v) + (v+u)(v+w) + (w+v)(w+u) = 0.
L'équation du lieu des points M tels que AA',BB',CC' soient parallèles est :
u² + v² + w² + 3.(uv + vw +wu) = 0, c'est une conique, mais comme elle a 3 axes de symétrie c'est un cercle concentrique au cercle circonscrit à ABC. Les points K(-1, 1, 1), L(1, -1, 1) et N(1, 1, -1) appartiennent à ce cercle. Le rayon du cercle KLN vaut 2 fois le rayon du cercle ABC.
On doit cependant noter que si M vient en l'un des trois points K, L, N,
deux des trois droites AA', BB', CC' sont confondues tandis que la troisième n'est pas définie.
L'ensemble des points M tels que AA',BB',CC' soient parallèles est donc le cercle KLN privé des 3 points K, L, N.
Q3) Si D a pour équation v+w = 0, c'est la droite NL. Dans l'application M→M', l' image de D se réduit au seul point A.
De même l'image de la droite LK d'équation u+v = 0 se réduit au seul point C , et l'image de la droite KN d'équation u+w = 0 se réduit au seul point B .
Sous réserve que les dénominateurs ne soient pas nuls, les coordonnées de M' peuvent aussi s'écrire x = 1/(v+w), y = 1/(u+v), z = 1/(u+v) . On peut résoudre en u, v, w ce qui donne :
u = (-1/x+1/y+1/z)/2 , v = (1/x-1/y+1/z)/2, w = (1/x+1/y-1/z)/2.
Si M décrit une droite D, d'équation au + bv + cw = 0, les coordonnées de M' vérifient l'équation : a(-1/x+1/y+1/z) + b(1/x-1/y+1/z) + c(1/x+1/y-1/z) = 0.
Comme xyz n'est pas nul, on multiplie par xyz et on parvient à :
xy(a+b – c) + yz(b+c – a) + zx(c+a – b) = 0 qui en général représente une conique circonscrite au triangle ABC.
Dans l'application M→M', le cercle KLN a pour image la droite de l'infini.
Suivant que D est non sécante, sécante, ou tangente à ce cercle, la conique image de D est du genre ellipse, hyperbole, ou parabole.