N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
P. A PPELL
Groupes de points sur l’hyperbole équilatère ; exercice proposé
Nouvelles annales de mathématiques 4
esérie, tome 18
(1918), p. 41-42<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1918_4_18__41_0>
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GROUPES »E POINTS SUR L'HYPERBOLE ÉQUILATÈRE;
EXERCICE PROPOSÉ;
PAR M. P. APPELL.
Problème. — Soient quatre points pris sur une hyperbole équilatère A,, B,, C1? D | ; les hauteurs du triangle B{ C{ Dt se coupent en un point A2 situé sur l'hyperbole, de même les hauteurs de Ct D4 Af se coupent en un point B2 de la courbe, etc. On déduit tiinsi des quatre points Af, B<, C|, D<, quatre nouveaux points A2, B2, C2, D2; de même de ces quatre points»
on en déduira quatre autres A3, B3, C3, D3, ... et ainsi
<le suite. Etudier la suite de ces groupes de points : est-il possible que le groupe Aw, B^, Crt, D„ coïncide en tout ou en partie avec A,, Bf, G<, D^.
Indications sur la solution. — L'étude générale des groupes de points sur une courbe algébrique se rat- tache au théorème d'Abel. Le problème actuel se traite d'une façon élémentaire, à l'aide de la fonction expo- nentielle.
Soit xy= î l'équation de la courbe rapportée à ses- asymptotes; chaque point est défini par son abscisse.
Si les sommets d'un triangle ont pour abscisses .?•', x\ xw, le point de concours des hauteurs a une abscisse x donnée par
xx'x"' x'"'= — i.
Ann. de Matkeinat , 4e série, t. XVIII. (Févr. 1918.) 4
Posons pour uu point de la courhe
x — el, y — e~l.
L e s q u a t r e p r e m i e r s p o i u l s A , , B4. Ct, L)| c o r r e s p o n - d e n t ti d e s v a l e u r s d e t : a , , J J , , y , , 5«. O u a e n s u i t e , c;n a p p e l a n t aw, j3w, *'w, ow les \ a l e u r s <!r / c o r r e s p o n d a n t à A/ / ? B7 /, Cw, D « ,
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