D167. Une paire de cercles inscrits
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. La bissectrice AI coupe les droites DE et DF aux points P et Q. Soit H le pied de la hauteur issue de A sur BC. Démontrer que D est le centre du cercle inscrit du
triangle HPQ.
Solution proposée par Jean Nicot
Notons A, B, C les angles aux sommets du triangle ABC.
Les angles DFE et KDE sont égaux et FE perpendiculaire à AQ donne l’angle FQA
= C/2.
Les angles FED, FDB, DFB sont égaux à et FE perpendiculaire à AQ donne les angles APE = DPK = B/2.
Les angles FDE, FEA, EFA sont égaux à 2-A/2
(HP,HC)=(HP,HA)+(HA,AB)+5BA,AK)+(AK,KH)=(2-(HP,HC))+(2-B)+A/2-(-A/2-B) ou 2(HP,HC)=A soit angle KHP=A/2.
Dans le triangle HPD, les angles DHP+HPD=PDK=2-C/2=A/2+B/2 donc l’angle HPD=B/2 et PD est bissectrice de HPK.
Le cercle circonscrit à ACQ, de diamètre AC, recoupe en L la bissectrice CI et recoupe également en L la droite FQ puisque les angles ACI et DQA sont égaux. Alors les angles ICD=DQH= C/2 et QHC=QAC=A/2.
D est le centre du cercle inscrit dans le triangle HPQ.
