Géométrie franco-française
Problème D186 de Diophante
Soit un triangle ABC acutangle. Le cercle de centre A et de rayon BC coupe respectivement la droite AB en un point P et la droite AC en un point Q tels que P et B, de même Q et C, sont de part et d’autre de A. De la même manière les cercles de centres B et C et de rayons respectifs CA et AB donnent les points R, S, T et U sur les droites portant les côtés BC, BA, CA et CB.
Démontrer que l’hexagone PQRSTU est inscrit dans un cercle. Soit O le centre de ce cercle. Un deuxième cercle de même centre O coupe les trois côtés du triangle ABC en six points distincts qui délimitent un deuxième hexagone. Démontrer que trois côtés de cet hexagone sont égaux entre eux.
Solution
Ci-dessous, figurent (en noir) un triangle ABC, son cercle inscrit de centre I, de rayon r, qui tangente BC, CA et AB, en K, L, et M respectivement.
On note (en vert) : a = BC, b = CA, c = AB et p = (a + b + c.) / 2. On note aussi : u = AL = AM, v = BM = BK et w = CK = CL
Il apparaît que v + w = a ; w + u = b et u + v = c. Il en découle u + v + w = p et enfin u = p – a, v = p – b et w = p – c.
Construisons les points P, Q, R, S, T et U définis dans l’énoncé. Il apparaît alors que MP = LQ = u + a = p ; KR = MS = v + b = p et LT = KU = w + c = p.
Ainsi les six triangles rectangles IMP, ILQ, IKR, IMS, ILT et IKU ont pour côtés de l’angle droit r et p : ils sont égaux. Donc I est à égale distance des six points P, Q, R, S, T et U. ces points sont donc sur un même cercle en rouge), dont le centre O n’est autre que le point I.
Le point O étant à la même distance des trois droites BC, CA et AB, tout cercle de centre O découpe sur ces trois droites des segments égaux. D’où le résultat demandé.
Remarque : Ce n’est pas par hasard que nous nous sommes intéressés au point I. En effet, ce point est commun aux médiatrices de PQ, RS et TU.
