Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° et BC = 1. Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent
respectivement sur les trois côtés du triangle ABC. Construire à la règle et au compas le triangle correspondant.
Il est logique de chercher un triangle équilatéral, dont les sommets sont respectivement sur BC, CA et AB.
Soit B’ le symétrique de B par rapport à A, B’’ celui de B’ par rapport à B et C’ celui de C par rapport à A, enfin M le milieu de BC. Les triangles BCB’, MAB et CC’B’’ sont
équilatéraux (avec B, M, C sur BC, C, A, C’ sur CA et B’, B, B’’ sur AB): on en déduit que si les points D, E, F sont tels que BD=xBC/2, CE=xCA (AE=(1-x)AC) et B’F=xB’B, (AF=(2x-1)AB) le triangle DEF est équilatéral (les cas précédents correspondant aux valeurs x=0, 1 et 2)
Or EF2=3(x-1)2/4+(2x-1)2/4=(7x2-10x+4)/4, minimum pour x=5/7 donc EF2=3/28 soit EF=0,3273... et BD=5BC/14, AE=2AC/7, AF=3AB/7.
On construit les points D, E, F à la règle et au compas en appliquant le méthode classique de division d’un segment en n parties égales : on construit sur un segment de même origine une échelle de n intervalles égaux, puis les parallèles au segment des extrémités.
![Avec la règle et l’équerre : La médiatrice d’un segment [AB] est la droite (d) perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)