Q₂un entier positif quelconque comme la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits

A5913 – Toujours possible [*** à la main]

Démontrer qu’il est toujours possible de représenter :

Q₁ un entier positif de la forme 3k – 2 avec k entier ≥ 1 comme la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits.

Q₂un entier positif quelconque comme la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits.

Q₃ un entier quelconque comme la somme de cinq cubes parfaits pas nécessairement distincts.

Q₄ un entier positif ou nul sous la forme a² + b² – c² avec a,b,c entiers positifs distincts , 0 < a < b < c.

Q₅ un entier quelconque sous la forme 1² 2² …. n² avec un certain entier n et le choix convenable du signe « + » ou « – » précédant chacun des termes k² avec k = 1,2...,n

Solution proposée par Daniel Collignon

Q1 : Le résultat découle de l'identité 3k-2 = (3k+5)² + k^{^3} + (-(k+3))^{^3}

Q₂ :

Écrivons la division euclidienne d'un entier positif quelconque n par 3 : n = 3q + r avec 0=<r<3 D'où n = 3(q+1) - 2 + (r-1) et l'on se sert du résultat de Q1 en ajoutant (r-1)^{^3} = r-1 pour r=0, 1 ou 2.

Q3 :

Écrivons la division euclidienne d'un entier quelconque n par 6 : n = 6q + r avec 0=<r<6

Parmi r-1, r et r+1, il y a un multiple de 3 et au moins un multiple de 2, de sorte que (r-1)r(r+1) = 0 (mod 6), ou encore r = r^{^3} (mod 6).

D'où r = r^{^3} + 6p, et donc n = 6k + r^{^3} avec k = p + q.

Le résultat découle alors de l'identité 6k = (k+1)^{^3} + (-k)^{^3} + (-k)^{^3} + (k-1)^{^3}.

Q4 :

0 = 3² + 4² - 5² 1 = 4² + 7² - 8² 2 = 5² + 11² - 12²

2n = (3n)² + (4n-1)² - (5n-1)² pour tout n>=2 2n+1 = (3n+1)² + (4n+2)² - (5n+2)² pour tout n>=1

Q5 :

0 = 1² + 2² - 3² + 4² - 5² - 6² + 7²

La forme restant stable par passage à l'opposé, nous pouvons nous restreindre à l'étude des entiers positifs.

1 = 1²

2 = - 1² - 2² - 3² + 4² 3 = - 1² + 2²

4 = - 1² - 2² + 3²

Le passage d'un entier i à i+4 se fait par récurrence à l'aide de l'identité 4 = n² - (n+1)² - (n+2)² + (n+3)² Illustrons le en utilisant les 4 cas précédents :

5 = 1² + 2² - 3² - 4² + 5²

6 = - 1² - 2² - 3² + 4² + 5² - 6² - 7² + 8² 7 = - 1² + 2² + 3² - 4² - 5² + 6²

8 = - 1² - 2² + 3² + 4² - 5² - 6² + 7² .