Cet entier N de k chiffres (k > 1) a les caractéristiques suivantes : 1) Il n’est pas divisible par 10.
2) Si l’on supprime l’un de ses chiffres à l’exception du premier chiffre de gauche, le nombre résultant est un diviseur de N.
Q1 : Démontrer que si N existe, le chiffre qui passe à la trappe est nécessairement en deuxième position.
Q2 : Déterminer la plus grande valeur possible k0 de k ?
Q3 : Pour chaque valeur de k variant de 2 à k0, donner la plus grande valeur possible de N.
Soit M le nombre obtenu en supprimant ce chiffre : N et M sont donc de la forme N=a*10i+1+b*10i+c, M=a*10i+c, avec le chiffre supprimé b<10, c<10i, et N=d*M.
1) On ne peut avoir d=10, puisque N n’est pas divisible par 10 ; par ailleurs N-9M=(a+b)*10i-8c, 11M-N=(a-b)*10i+10c : si a≥10, 9M<N<11M, et N ne peut être un multiple de M ; donc a<10, le chiffre supprimé est le second en partant de la gauche, et k=i+2.
2) (10a+b)10i+c=d(a*10i+c), (10a+b)/(a+1)<d<10+b/a, 10-(10-b)/(a+1)<d<10+b/a, donc, puisque 1≤a≤9, 0≤b≤9, 6≤d≤18. De plus, (b-(d-10)a)10i=(d-1)c : c n’est pas divisible par 10, donc d-1 doit diviser 10i et 10i/(d-1) ne doit pas être divisible par 10. Donc i=4 pour d=17, i=3 pour d=9, i=1 pour d=6 ou 11, et i=0 pour d=7, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 18.
d=17, d-1=16, i=4, c est un multiple impair de 54=625, c=625h, avec 1≤h≤15 b-7a=h soit a=1, h=1, b=8 : 180625/10625=17, seule solution pour k0=6.
3) Pour k=2, i=0, 10a+b doit être divisible par a, donc b par a, et la plus grande valeur de N est 99. Pour k=3, i=1, nous avons les deux possibilités d=6 ou 11, la seconde donnant la plus grande valeur de N=891=11*81. Pour k=4, i=2, il n’y a pas de solution. Pour k=5, i=3, d=9, c est multiple impair de 53=125, c=125h avec 1≤h≤7, et b+a=h : la plus grande valeur de n est obtenue pour h=a=7, b=0, donc N=70875=9*7875. Pour k=6, l’unique valeur est N=180625=17*10625.
