Enoncé A343 (Diophante) En solo, duo, trio,. . .
Quels sont tous les entiers qui s’écrivent en base 10 avec un seul chiffre sous la forme aa . . . aaa et dont la représentation binaire comporteafois le chiffre 1 ? Justifier votre réponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le nombre M = aa . . . aaa de m chiffres en décimal comporte c chiffres dontachiffres 1 en binaire.
Il est d’autant moins probable que l’écriture binaire d’un nombre demchiffres décimaux ait justementachiffres 1 quemest grand.
Plus précisément, on peut identifier les derniers chiffres de l’écri- ture binaire deM pour éliminer les cas où il y a parmi eux stric- tement plus deachiffres 1.
Une exploration par programme poussée jusqu’à m = 18 m’a fourni les 6 solutions
1, 55, 555, 7777, 66666, 888888 en décimal, soit respectivement en binaire
1, 110111, 1000101011, 1111001100001, 10000010001101010, 11011001000000111000.
Pour m ≥ 18, le reste de M/a modulo 218 = 262144 est 29127.
On en tire le tableau suivant, oùrdetrb sont l’écriture en décimal et en binaire du reste deM modulo 2k; les k derniers chiffres de rb contiennent a+ 1 chiffres 1, ce qui montre l’impossibilité pour toutes les valeurs de m dépassant une limite (dépendant de a) correspondant à ce qui suffit à déterminer leskchiffres.
a m k rd rb
1 ≥2 2 3 11
2 ≥3 4 14 1110
3 ≥7 7 85 1010101
4 ≥8 10 796 1100011100
5 ≥12 12 2275 1100011100011 6 ≥13 14 10922 10101010101010 7 ≥11 11 1529 10111111001 8 ≥15 18 233010 111000111000111000 9 ≥10 10 1023 1111111111
Les six solutions obtenues ci-dessus sont donc bien toutes les so- lutions.
