A343 – En solo, duo, trio, ...
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Quels sont tous les entiers qui s’écrivent en base 10 en répétant un même chiffre a sous la forme et dont la représentation binaire comporte a fois le chiffre 1 ? Justifiez votre réponse.
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Notons An=a...a (n fois le chiffre a). Si le reste de la division de An par 2n comporte b fois le chiffre 1 dans sa représentation binaire, la représentation binaire de Am où m>n, comporte au moins b chiffres 1, puisque Am=10nAm-n+An.Le nombre de cas à examiner est donc fini, dès que b>a.
La solution n=1, a=1 est triviale.
Si n>1, a≠1 car aucun des 1...1 n’est une puissance de 2.
a≠2 car 2...2=2 (mod 4), et 2...2-2 n’est pas une puissance de 2.
3...3=1 (mod 4) ; 3, 33, 333, 3333 ne sont pas solutions et 3...3-5=33328=16 (mod 32) n’est pas puissance de 2.
De même, 4, 44, 444 ne sont pas solutions et 4...4-28=4416=16 (mod 32) n’est pas puissance de 2.
On trouve aisément avec un tableur que les seules solutions sont : 55 (11011 en base 2) ; 555 (1000101011) ; 7777 (1111001100001) ; 66666 (100000100011010) et 888888 (11011001000000111000).
