Soit un entier p ≥ 1. On cherche les entiers naturels distincts a et b tels que les six produits des entiers a, b, a + p et b + p pris deux à deux donnent le plus grand nombre possible m(p) de carrés parfaits. Démontrer que :
Q₁ : m(p) > 1 quel que soit p.
Q₂ : m(p) = 2 pour un nombre fini de valeurs de p.
Q₃ : si m(p) > 3 alors m(p) = 6.
Q₄ : il existe une infinité de valeurs de p telles que m(p) = 6. Déterminer le plus petit entier p et un couple (a,b) tel que m(p) = 6.
Nous considérons les six produits ab, a(a+p), a(b+p), b(a+p), b(b+p), (a+p)(b+p) Q1 : En prenant a et b multiples de p on peut se ramener au cas p=1, pour lequel on remarque que 72+1=2*52 : avec a=1 et b=7, ab et (a+1)(b+1) sont des carrés parfaits.
Q2 : Hormis 1, 2 et 4, tout entier est (au moins d’une façon) la différence de deux carrés parfaits, ou le double d’une telle différence. Si p=u2-v2, pour a=v2, a+p=u2, et tout b=w2 carré parfait, ab, a(a+p) et b(a+p) sont des carrés ; de même, si p=2(u2-v2), avec a=2v2, a+p=2u2 et b=2w2, ab, a(a+p) et b(a+p) sont des carrés.
Q3 : Le quotient entier d’un carré par un carré est encore un carré et puisque
ab*((a+p)(b+p)=(a(a+p))*(b(b+p))=(a(b+p))*(b(a+p)), dès que quatre des six produits considérés sont des carrés parfaits, les six le sont.
Q4 : Si p peut être différence de deux carrés d’au moins deux façons différentes (par exemple produit de deux nombres premiers impairs), on peut choisir a et b carrés parfaits tels que a+p et b+p soient également des carrés parfaits, donc également les six produits considérés.
Le plus petit produit de deux nombres premiers impairs est 15, ce qui donne a=1, b=49, a+p=16, b+p=64.
