Enoncé A372 (Diophante) Carrés par concaténation
Déterminer au moins trois paires d’entiers consécutifs de sorte que l’entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d’un entier <2018.
Pour les plus courageux : démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit c le nombre de chiffres de ces deux entiers. Si celui de gauche (dans l’écriture du carré) est a, le carré est (10c+ 1)a±1 =b2.
Cas c= 1
11a−1 n’est pas un carré, car 11 ne peut diviserb2+ 1, somme de deux carrés. Si 11a+ 1 =b2, 11a= (b+ 1)(b−1), il faudraitb= 10,a= 9, mais a+ 1 = 10 ne s’écrit pas avecc= 1 chiffre.
Cas c= 2
Si 101a+ 1 =b2, 101a= (b+ 1)(b−1),b= 100, a= 99 maisa+ 1 = 100 ne s’écrit pas avec c= 2 chiffres.
101a=b2+ 1 implique quea, comme 101, soit une somme de deux carrés p2+q2, et 101a= (10p+q)2+ (10q−p)2. Alors p= 10q−1,q = 1,p= 9, a= 82, le carré est 912 = 8281.
Cas c= 3
1001a−1 n’est pas un carré, car les diviseurs 7 et 11 de 1001 ne peuvent diviser b2+ 1, somme de deux carrés.
Il faut donc 1001a=b2−1 = (b+ 1)(b−1). Ces deux facteurs se partagent les diviseurs de 1001, de plusieurs façons.
Si 1001 = b+ 1, a = 999 mais a+ 1 = 1000 ne s’écrit pas avec c = 3 chiffres.
Sib = 143e+ 1 = 7f −1,e= 4 modulo 7, f = 82 modulo 143, a= 328, 328329 = 5732. Sib= 143e−1 = 7f + 1,e= 3 modulo 7, f = 61 modulo 143,a= 183, 183184 = 4282.
Sib = 77e+ 1 = 13f −1, e= 2 modulo 13, f = 12 modulo 77, a= 24, mais a+ 1 = 25 ne s’écrit pas avec c = 3 chiffres ; 24025 = 1552. Si b = 77e−1 = 13f + 1, e = 11 modulo 13, f = 65 modulo 77, a = 715, 715716 = 8462.
Sib = 91e+ 1 = 11f −1, e= 3 modulo 11, f = 25 modulo 91, a= 75, mais a+ 1 = 76 ne s’écrit pas avec c = 3 chiffres ; 75076 = 2742. Si b = 91e−1 = 11f + 1, e = 8 modulo 11, f = 66 modulo 91, a = 528, 528529 = 7272.
20182 = 4072324 n’ayant que 7 chiffres, le cas c = 4 sort du champ de l’énoncé. Les seuls carrés satisfaisant celui-ci sont ceux de 91, 428, 573, 727 et 846.
Pour illustrer la méthode quandc= 4, la factorisation 10001 = 73×137 permet d’obtenir 78102 = 60996100, ainsi que la solution 21912 = 4800481, parasite car a= 480 n’a pas c= 4 chiffres. En outre, parce que c= 4 est pair, on a la solution 99012 = 98029801.
Cette dernière solution se généralise sous la formeN9Z12 =N8Z2N8Z1, oùN est un bloc denchiffres 9 (n≥0) etZ un bloc de nzéros. Chaque valeur denfournit une paire d’entiers consécutifs (N8Z1, N8Z2) donnant un carré parfait par concaténation.
