Problème A558 – Solution de Jean Drabbe
Le problème est une adaptation aux troncs de pyramide à base carrée d'une question posée par Lucas [2] en 1875 :
« Une pile de boulets à base carrée ne contient un nombre de boulets égal au carré d'un nombre entier que lorsqu'elle en contient 24 sur le côté de la base. »
Nous utiliserons quelques résultats élémentaires concernant les résidus quadratiques (voir par exemple [3]).
Nous noterons S l'ensemble des naturels k (k > 1) tels qu'il existe une suite de k naturels non nuls consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait.
Q1 : Supposons que (n + 1)^2 + (n + 2)^2 + ... + (n +49)^2 = m^2 .
Alors, 49 • n^2 + 49 • 50 • n + 49 • 25 • 33 = m^2 .
Posons m = 7 • x , n = y – 25 . On obtient x^2 – y^2 = 200 , égalité vérifiée par les seuls couples (15,5) , (27,23) , (51,49) . Comme n doit être > 25 , seul
(51,49) peut être retenu.
Dès lors, la suite des entiers de 25 à 73 est l'unique suite répondant à la question et m = 357.
Q2 : Montrons que 61 n'appartient pas à S.
Travaillant par l'absurde, supposons que 61 soit dans S. Alors, il existe des naturels n et m tels que
61 • n^2 + 61 • 62 • n + 61 • 31 • 41 = (3 • 31 – 1) • n^2 + 61 • 2 • 31 • n + 61 • 31 • 41 = m^2 .
Il en résulte que – n^2 est un résidu quadratique modulo 31 . Si n n'est pas divisible par 31 , il faut que – 1 soit un résidu quadratique modulo 31. Une telle situation est impossible car 31 ≡ 3 modulo 4 .
Comme 31 divise n , m^2 est divisible par 31^2 mais, 61 • 31 • 41 ne l'est pas !!!
Remarque – Beeckmans[1] établit sept critères généraux permettant d'exclure de S une infinité de naturels (dont toutes les puissances d'exposant impair de 61 ).
.
[1] BEECKMANS, L., Squares expressible as Sum of Consecutive Squares, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No5 (May,
1994), pp.437 – 443.
[2] LUCAS, E., Questions, Nouvelles Annales de Mathématiques, 2è série, tome 14 (1875), p.336.
[3] RIBENBOIM, P., L'arithmétique des Corps, Hermann, Paris 1972.
