Problème A564 – Solution de Jean Drabbe
Q1 – Le nombre (503^(1006^4) • (2^(4^503)) convient.
Q2 – Démontrons que pour tout entier naturel m , il existe un entier n tel que la séquence obtenue par itération de la fonction f comporte au moins m termes tous distincts.
Définissons les suites infinies u et a par u[0] = 2^2
u(k + 1) = (2 ^ u[k]) / 2 a[k] = 2 ^ (2 ^ u[k]) Alors,
f(a[k+1]) = f(2 ^ (2 ^ u[k + 1]) = (2 ^ (2 ^ u[k] ) / 2) ^ 2 = a[k] .
La propriété souhaitée en résulte immédiatement.
Remarque – Il est très aisé de vérifier que le résultat peut être amélioré en :
Pour tout naturel non nul m , il existe un naturel n tel que la séquence obtenue par itération de la fonction f comporte exactement m termes distincts.
