Problème H135 – Solution de Jean Drabbe
Montrons que le problème admet une solution pour tout nombre n de mégapoles avec 2 < n ≠ 4 .
Les mégapoles seront désignées par les nombres de 1 à n .
A défaut d'utilisation d'un logiciel graphique, nous représenterons les réseaux à sens unique par des matrices d'incidence r[i,j] de format n • n avec
r[i,j] = 1 si une route à sens unique relie i à j r[i,j] = 0 sinon
Une solution pour n = 3 est donc 0 1 0 0 0 1 1 0 0
Pour n = 6 , voici un réseau convenable : 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0
Il nous reste à montrer que si le problème admet une solution pour n mégapoles, il en est de même pour n + 2 mégapoles.
Soit r[i,j] une matrice d'incidence n • n solution du problème pour n mégapoles.
Définissons une matrice la matrice d'incidence (n+2) • (n+2) s[i,j]
par
s[n+1,n+2] = 1 si i,j < (n+1) s[i,j] = r[i,j]
pour tout i < (n+1) s[i,n+1] = 1 et s[n+2,i] = 1
dans tous les autres cas s[i,j] = 0
La matrice s définit une solution pour n + 2 mégapoles.
Remarque - Il n'est pas difficile de montrer que le problème n'admet pas de solution lorsque n = 4 .
