A563. Les entiers narcissiques

A563. Les entiers narcissiques

Tout entier impair est narcissique.

En effet sim= 2n+ 1, alors

m

X

i=1

i^m≡

n

X

i=1

i^m+

n

X

j=1

(m−j)^m≡0 (modm).

Supposons quem= 2^piavecp>1 etiimpair soit narcissique.

En particulier

m

X

j=1

j^m≡0 (mod 2^p).

Pourj pair,j^m≡0.

Pourjimpair,j^m≡1, grâce au théorème d’Eulerj^ϕ(2p)≡1 avecϕ(2^p) = 2^p−1. D’où

m

X

j=1

j^m≡2^p−1i: contradiction car alorsi≡0 (2).

1