Exercices en temps libre : Semaine 6 Exercice MPSI :
Étudier pour(a, b)∈R∗+ la limite éventuelle de
ax+bx 2
1/x
lorsquextend vers0+. Exercice MPSI :
Soient a et b deux réels, a < b. On considère la fonction f : [a, b] −→ [a, b] supposée continue et une suite récurrente(un)n définie par :u0∈[a, b] et pour tout n∈N, un+1=f(un).
1. On suppose ici quef est croissante. Montrer que(un)n est monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l’équationf(x) =x.
2. Application. Calculer la limite de la suite définie par :u0= 4 et pour tout n∈N, un+1= 4uun+5
n+3. 3. On suppose maintenant quef est décroissante. Montrer que les suites(u2n)n et(u2n+1)nsont monotones
et convergentes.
4. Application. Soitu0= 12 et pour tout n∈N, un+1= (1−un)2.Calculer les limites des suites(u2n)n
et(u2n+1)n. Exercice 1
On munitE =l∞(C)leC-espace vectoriel de suites bornées de la normekuk∞= supn∈N|un|.
On considère les endomorphismes∆etC deE définis par :∆(u) =voùvn =un+1−unet C(u) =woùwn= 1
n+ 1 Pn
k=0uk.
Montrer que∆et C sont continus sur(E,k.k∞)et calculer leurs normes.
Exercice 2
Soitf :R→Rune application uniformément continue surRtelle quef(0) = 0. Montrer qu’il existe des réels aetb tels que∀x∈R,|f(x)|6a|x|+b.
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