Math´ematiques pour les Sciences (MS1) Examen du 8 janvier 2009 (1`ere session), dur´ee : 2,5 heures
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif.
Exercice 1. [2 points] D´eterminer
100
X
k=1
(5k+ 2).
Exercice 2. [5 points] Soit (un)n≥0 la suite d´efinie par u0 = 1 etun+1= u2n+ 5un−6
6 .
1. Calculer u1,u2,u3 etu4 (comme fractions r´eduites).
2. Dessiner la toile d’araign´ee associ´ee `a la suite.
3. En supposant que la limite limn→∞un existe, trouver-la (sans rigueur, `a l’aide de votre dessin ou par une autre m´ethode).
4. Probl`eme (plus difficile): Retrouver rigoureusement votre r´eponse de la question pr´ec´edente.
Exercice 3. [3 points] Soit Ala matrice A= 2 1
0 3
. Montrer par r´ecurrence que
An =
2n 3n−2n
0 3n
.
Exercice 4. [4 points] Soitℓ(a) la droite dans le plan donn´ee par sa repr´esentation param´etrique
x = at + 1
y = (6−a2)t + 2 1. D´eterminer la distance entre l’origine et ℓ(a).
2. Trouver la projection de l’origine sur la droite ℓ(a).
3. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la droiteℓ(a) est-elle perpendiculaire au vecteur 1
−1
?
Exercice 5. [4 points]
(a) Donner un DL4(0) des fonctions suivantes: f1(x) = exp(2x) et f2(x) = 1 + cos(2x)
2 .
(b) Calculer les limites suivantes (o`u a, b∈Rsont des param`etres):
xlim→0
cos2(ax)−cos2(bx)
x2 , lim
x→0
1−cos(x2) x2−sin2x .
Exercice 6. [3 points] Trouver la solution g´en´erale de dy
dx+y = 3 exp (2x).
1
