Lorsque la suite de terme g´en´eralSn(x) converge, sa limite sera not´eeS(x)

Sup PCSI2 — Devoir 2004/04

IPourx >0 et n∈N^∗, nous notonsSn(x) =

n

X

k=1

1

k^x. Lorsque la suite de terme g´en´eralSn(x) converge, sa limite sera not´eeS(x).

Q1 Montrez que, pourx >0 fix´e, la suite de terme g´en´eralSn(x) est croissante.

Q2 Montrez que, pournfix´e, la fonctionx >07→Sn(x) est d´ecroissante.

Q3 Soientn∈N^∗ etN >n+ 1 ; calculez

N

X

k=n+1

1

k(k+ 1), puis lim

N→∞

N

X

k=n+1

1 k(k+ 1). Q4 La suite de terme g´en´eralSn(1) converge-t-elle ?

Q5 ´Etablissez la convergence de la suite de terme g´en´eralSn(2) ; vous pourrez utiliser l’in´egalit´e 1

k² 6 1 k(k−1), pourk>2.

Q6 Montrez que S(2)∈]1,2].

Q7 ?? Etablissez l’existence d’un r´eel´ ` ∈ [1,2] tel que : si x ∈]0, `[, alors lim

n→∞Sn(x) = +∞; six ∈ ]`,+∞[, alors la suite de terme g´en´eralSn(x) converge.

Q8 Pourn>1 etx >1, ´etablissez : 1

1−x (n+ 1)^1−x−1

6Sn(x)61 + 1

1−x n^1−x−1 Indication: encadrez

Z ^k+1

k

dt t^x. Q9 En d´eduire la valeur de `.

[Devoir 2004/04] Compos´e le 9 d´ecembre 2004