Dvt 201 Th du point fixe

201 Etude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications.

Théorème du point fixe. Application.

Capes Sorosina

Ce théorème est souvent mentionné comme Théorème du point fixe de Théorème du point fixe de Théorème du point fixe de Théorème du point fixe de BanachBanachBanach Banach⁽¹⁾, qui l'a énoncé en 1922 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales (Une équation intégraleéquation intégraleéquation intégraleéquation intégrale est une équation dont l'une des indéterminées est une intégrale).

Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus en utilisant la continuité de la distance d, on obtient (sans connaître exactement x ^* ) un majorant (souvent "pessimiste") de l'erreur:

(

*,

) (

₁, ₀

)

1

n n

d x x k d x x

k

≤

− .

Applications:

Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton.

Résolution approchée de systèmes linéaires par itération

Résolution d'équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz Théorème des fonctions implicites

Prop.3:^(CAPES)Soit I un intervalle fermé non vide de ℝ et f :I →Icontractante.

1.

1.1.

1. f admet un unique point fixe.

2.

2.2.

2. ∀u₀∈I, la suite

( )

u_{n n *}

∈ définie par u₀

et∀ ∈n ,u_n+1= f u

( )

_n converge vers le point fixe de f

Exemple 3 ^(SOR)

( )

u_{n n *}

∈ :

( )

( )

0

1

arctan 4 cos

n

n n

u a

u

u

+

u

= ∈

=

 

  +



CV 0

 →

I. Outils

ℝ est completcompletcompletcomplet:::: un espace métrique est dit complet ou espace complet si toute toute toute toute suite de Cauchysuite de Cauchysuite de Cauchy convergesuite de Cauchyconvergeconverge. La propriété de converge complétude dépend de la distance. Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ».

Définition séquentielle d'un ferméferméferméfermé:::: Une partie A d'un espace métrique X est dite fermée si la limite de toute suite cv de A appartient à A.

II. Démonstration du théorème (Capes p.74).

1) 1)1)

1) Montrons que la suite

( )

u_{n n}

∈est de CauchyCauchyCauchy. Comme ℝ est complet, elle convergera alors dans ℝ. Cauchy On a: ∀p∊ℕ*, up₊1−up = f u

( )

p − f u

(

p₋1

)

≤k up −up₋1 .

On montre donc par récurrence que: ∀p∊ℕ*, u_p−u_p−1 ≤k^p−1 u₁−u₀ . Il vient, pour tous p∊ℕ, r∊ℕ* :

( )

1 1 2 1

1 2

1 0

1 0 1 0

...

...

1

1 1

p r p p r p r p r p r p p

p r p r p

r p

kp

u u u u u u u u

k k k u u

k k

u u u u

k k

+ + + − + − + − +

+ − + −

≤

− ≤ − + − + + −

≤ + + + −

− − ≤ −

− −

Or k∈[0,1[, d'où lim _{1 0} 0 1

p

p

k u u

k

→∞

− =

− ^.

Soit ε>0. ∃N∊ℕ tq. ∀p∊ℕ, _{1 0}

1 kp

p N u u

k ε

≥ ⇒ − ≤

−

 

 

 

. D'où ∀(p,r)∊ℕ×ℕ*,

(

p≥N⇒ up r₊ −up ≤ε

)

. Donc la suite

( )

u_{n n}

∈est de Cauchy, donc converge dans ℝ.

201 Suites numériques récurrentes. Th. du pt fixe. App°. Capes, Sor.

2)2)2)

2) Montrons que sa limite est un point fixe de f . Soit l la limite de

( )

u_{n n}

∈. On a défini

( )

u_{n n}

∈dans I fermé, donc (d'après la def. séquentielle d'un fermé), sa limite l∊I.

Or ∀n∊ℕ, u_n+1− f l

( )

≤k u_n−l ; donc en faisant tendre n∞, il vient

( )

u_{n n}

∈ f l

( )

. Donc, par unicité de la limite, f l

( )

=l, et l est bien un point fixe de f .

3) 3)3)

3) Montrons l'unicité de ce point fixe.

Raisonnons par l'absurde en en supposanr deux. Soient x1 et x2 deux points fixes de f .

On a: f

( )

x₁ − f

( )

x₂ = x₁−x₂ ≤k x₁−x₂ , avec k∊[0,1[. D'où k=0, et x₁−x₂

≤ 0

, i.e. x₁−x₂

= 0

. Donc x₁=x₂, ce qui assure l'unicité du point fixe.

III. Application (Sorosina 1.11 p.17).

Exemple 3 ^(SOR)

( )

u_{n n *}

∈ :

( )

( )

0

1

arctan 4 cos

n

n n

u a

u

u

+

u

= ∈

=

 

  +



CV 0

 →

On pose I=ℝ. Soit

( ) ( )

( )

: arctan

4 cos

f x

x f x

x

→

= +

 

 



. Vérifions que les hypothèses du théorème du pt fixethéorème du pt fixethéorème du pt fixe sont satisfaites: théorème du pt fixe i)

i)i)

i) I=ℝ est bien un fermé de ℝ. f envoie bien I dans I.

ii) ii)ii)

ii) Montrons que f est bien k-contractante, ie ∃k∊[0;1[ tq: ∀x, y ∊I, f

( )

x − f

( )

y ≤k x−y . Pour cela, utilisons l'inégalité des accroissements finisl'inégalité des accroissements finisl'inégalité des accroissements finisl'inégalité des accroissements finis: on majore f '.

f est C¹ sur I, et vérifie pour tout x∊I:

( )

( )

^{2 2}

1 4 cos

' arctan .sin

4 cos 1

f x x x x

x x

= + +

+ +

 

 

 

^.

Donc pour tout x∊I, '

( )

¹ 5 ¹⁰ 1

9 2 18

f x π +π

≤



+



= <

 

 

^.

En posant 10 18

k +π

= , et en appliquant l'inégalité des l'inégalité des l'inégalité des accroissements finisl'inégalité des accroissements finisaccroissements finis, on a : accroissements finis f est k-contractante sur I=ℝ.

iii) iii) iii)

iii) Montrons que f admet un point fixe, ie que l'égalité f x

( )

=xadmet une solution sur I=ℝ.

On arctan(0)=0, donc f

( )

0 =0, et f admet un point fixe en 0.

On applique alors le théorème du point fixe:

On applique alors le théorème du point fixe:On applique alors le théorème du point fixe:

On applique alors le théorème du point fixe:

∀nℕ,

f u ( )

_n

− f l ( ) ≤ k u

_n

− l ie u

_n+1

− l ≤ k u

_n

− l

, d'où par récurrence: ∀n∊ℕ,

u

_n+1

− ≤ l k u

ⁿ ₀

− l

, donc

( )

u_{n n∈}

→ =

^CV

l 0

IV. Notes

(1)Le théorème du point fixe se généralise à un espace de Banach (espace vectoriel normé complet ) qcq (Capes p.159):

Soient

(

E, .

)

un espace de Banach,

f une application k-contractante de E dans E (i.e. ∃k, 0<k<1, ∀(x, y)∊E², f

( )

x − f

( )

y ≤k x−y ).

Alors on a le résultat suivant:

1. Il existe un unique x de E vérifiant f x

( )

=x, appelé point fixe.

2. Pour tout x₀de E la suite

( )

x_{n n}

∈définie par x₀et x_n+1 = f

( )

x_n , n∊ℕ, vérifie lim

( )

_n

n

x x

→∞

= .