Solution éventuelle* du système peu évidente

Résolution d'un système de 3 équations linéaires à trois inconnues

(méthode dite du « pivot de Gauss ») A partir d'un exemple ....

Solution éventuelle* du système peu évidente

(S) { ^{2 4 – x – 12 x5 x 3 2 y y – y5 2 4 z= z = z= 18 – 6 – 13}

*éventuelle car un tel système n'a pas toujours de solution unique.

Transformation du système en tableau de coefficients

L

 2 – 3 2 –6

L

 4 5 – 4 18

L

 –12 2 5 – 13

Principe : Les opérations suivantes ne modifient pas les solutions d'un système :

permuter deux lignes

multiplier une ligne par un nombre non nul.

remplacer une ligne par la somme de cette même ligne avec une autre ligne.

Objectif: obtenir un tableau avec des « 0 » bien placés L



L

 0

L

 0 0

Et c'est parti ! Étape 1

L

 2 – 3 2 – 6

L '

= L

– 2 L

 0 11 –8 30 L '

= L

6 L

 0 – 16 17 – 49

Étape 2 : un « 0 » à la place du « -16 »

L

 2 – 3 2 – 6

L '

 0 11 –8 30

16 L '

11 L ' 3  0 0 59 – 59

Réécriture du système :

(S') { ^{2 11 59 x – z= y – 3 – 8 y2 z 59 = 30 z= – 6}

d'après le principe (S) et (S') ont la même solution et la solution* éventuelle arrive très vite en

« remontant » le système triangulaire (S').

* 59 z= – 59 donne z =– 1

On « injecte » la valeur de z dans la 2

équation, on trouve y= 2 puis y et z dans la

1

équation donne x=1

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