Exercice 1(système linéaire dans R

Exercice 1(système linéaire dans R

) : 2,5pts

1) En utilisant la méthode du pivot de Gauss, déterminer le triplet (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) de réels, solution du système : {

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 75 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 105 6𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 340

2) Des hommes d’affaires organisent une partie de chasse aux buffles, aux autruches et aux oies. À leur retour, on compte au total 75 têtes et 210 pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit une somme de 170 000 F CFA à raison de 3000F CFA par buffle, 1500 F CFA par autruche et 2000 F CFA par oie. Déterminer le nombre de buffles, puis d’autruche et enfin d’oies.

Exercice 2 (Barycentre) : 6,5pts

Soit IJK un triangle. On note A le symétrique de K par rapport à J, B le symétrique de I par rapport à K et C le symétrique de J par rapport à I. (inutile de faire une figure).

1) Exprimer 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ , puis exprimer 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . En déduire que : 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ = ²

7(2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ).

2) Soit p le point défini par : 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = ¹₃(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ); Exprimer 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 3) En déduire que les points A, K , J et P sont alignés.

4) On suppose que IJK est isocèle de sommet I tel que IJ=IK=3 et JK=6. M, N et L sont les points définis par : 𝐽𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = ²

3(𝐽𝐼) ; 𝐾𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −²

3(𝐾𝐼⃗⃗⃗⃗ ) ; 𝐽𝐿⃗⃗⃗ = ⁵

6(𝐽𝐾⃗⃗⃗⃗ ).

a) Réaliser la figure et placer les points M, N et L.

b) Démontrer que les points M, L et N sont alignés.

II. Droites concourantes

1) ABC est un triangle quelconque.

a) Construire les points P, Q et R tels que : 𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =³₈(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =¹₄(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) et 𝐵𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = ⁵₆(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ).

b) Ecrire P comme barycentre de A et C ; Q comme barycentre de A et B ; R comme barycentre de B et C.

c) Démontrer que les droites (AR), (BP) et (CQ) sont concourantes.

LYCEE DE NYAMBAKA

Département de Mathématiques

Examen : Séquence N°3 Session : 2018/2019 Épreuve : Mathématiques

Classe : PD Durée : 3h Coefficient : 4

L’élève est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des

raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Problème (Généralité sur les fonctions):11pts

Soient f : ℝ ∖ {1} → ℝ définie par 𝒇(𝒙) = ^𝒙+𝟏_𝒙−𝟏 et k : ℝ → ℝ telles que 𝒌(𝒙) = ^𝒙 _𝒙 ^𝟐_𝟐^−𝟐_+𝟏 deux applications.

1) L’application f est-elle injective ? Surjective ? 2) Montrer que 𝒌(𝒙) = 𝟏 − ^𝟑

𝒙 ^𝟐+𝟏 puis en déduire que 𝒌 est bornée.

3) a) Déterminer les réels 𝒂, 𝒃 𝒆𝒕 𝒄 tels que : 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙 − 𝒄) + 𝒂 avec 𝒈(𝒙) = ^𝒃_𝒙 b) Donner une transformation du plan qui permet de déduire (𝓒_𝒇).à partir de (𝓒_𝒈).

4) Tracer avec soin les courbes (𝓒_𝒈) et (𝓒_𝒇).

5) Montrer que 𝜴(^𝟏_𝟏)est centre de symétrie pour la courbe (𝓒_𝒇).

6) On considère l’équation (E) : 𝒎(𝒙 − 𝟏) − 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 où x est l’inconnue et m un paramètre réel

a) Justifier que 1 ne peut pas être solution de cette équation quelque soit m.

b) Déterminer le nombre et le signe des racines de l’équation (E).

E xaminateur: Alex Manga Djoubaina

Le lézard fait toujours la pompe mais n’a jamais eu de biceps