DEVOIR EN CLASSE N°4

(1)

Nom/Prénom : ... Vendredi 22 décembre 2017 Classe : TS

DEVOIR EN CLASSE N°4

L'usage de la calculatrice est autorisée.

Vous êtes invité à faire figurer sur votre copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse que vous aurez développé. Il sera tenu compte de la qualité de la présentation et de la rédaction.

Durée : 2 h.

Exercice 1 : (2,5 points)

1) Restitution organisée de connaissances

Démontrer que si A et B sont deux événements indépendants alors A ̅ et B le sont également.

2) Dans son bureau, la secrétaire d'une entreprise dispose de deux téléphones : l'un réservé aux clients, l'autre aux fournisseurs. La secrétaire a remarqué que, durant sa première heure de travail, la probabilité que le téléphone « clients » sonne est 0,4 et que le téléphone « fournisseurs » sonne est 0,75. On admet que ces deux téléphones sonnent indépendamment l'un de l’autre.

Quelle est la probabilité que, durant sa première heure de travail : a) la secrétaire ait décroché uniquement le téléphone « clients » ? b) la secrétaire ne soit pas dérangée par le téléphone ?

Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve.

Cette population est estimée à 12000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60000 individus.

Partie A : un premier modèle

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5% par an.

L’évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite (𝑣

_𝑛

) où 𝑣

_𝑛

représente le nombre d’individus, exprimé en milliers, en 2016 + 𝑛. On a donc 𝑣

₀

= 12.

1) Déterminer la nature de la suite (𝑣

_𝑛

)et donner l’expression de 𝑣

_𝑛

en fonction de 𝑛.

2) Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel?

Partie B : un second modèle

Le biologiste modélise ensuite l’évolution annuelle de la population par une suite (𝑢

_𝑛

)définie par 𝑢

₀

= 12et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢

_𝑛+1

= −

^1,1

605

𝑢

_𝑛²

+ 1,1𝑢

_𝑛

.

1) On considère la fonction g définie sur ℝ

par 𝑔(𝑥) = −^1,1

605

𝑥

²

+ 1,1𝑥.

a) Justifier que 𝑔est croissante sur [0; 60].

b) Résoudre dans ℝ l’équation 𝑔(𝑥) = 𝑥.

2) On remarquera que 𝑢

_𝑛+1

= 𝑔(𝑢

_𝑛

).

a) Calculer la valeur arrondie à 10

⁻³

de 𝑢

₁

. Interpréter.

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, 0 ⩽ 𝑢

_𝑛

⩽ 𝑢

_𝑛+1

⩽ 60.

c) En déduire la convergence de la suite (𝑢

_𝑛

).

d) On admet que la limite L de la suite (𝑢

_𝑛

)vérifie 𝑔(L) = L.

En déduire sa valeur et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 : (2 points)

Tournez la page !!!!!!

(2)

On pose 𝑓(𝑧) = 𝑧

³

– (1 + 2i)𝑧

²

+ (1 + 2i)𝑧– 2i.

1) Calculer 𝑓(2i).

2) Déterminer trois réels 𝑎, 𝑏et 𝑐tel que pour tout complexe 𝑧: 𝑓(𝑧) = (𝑧– 2i)(𝑎𝑧

²

+ 𝑏𝑧 + 𝑐).

3) Résoudre 𝑓(𝑧) = 0dans ℂ.

Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsqu'un sondage permet la découverte de vestiges, il est positif.

On note V

_𝑛

l’événement : « le n

^ième

sondage est positif » et 𝑝

_𝑛

sa probabilité.

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :

•

si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d'être aussi positif.

•

si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d'être aussi négatif.

On suppose que le premier sondage est positif c'est à dire 𝑝

₁

= 1.

1) Dans cette question, on s’intéresse uniquement au 3 premiers sondages.

a) Compléter l' arbre pondéré :

V

₂

1 V

₁

V

₂

̅̅̅̅

b) Calculer la probabilité que les 2ème et 3ème sondages soient positifs.

c) Calculer la probabilité 𝑝

₃

pour que le 3ème sondage soit positif.

d) Le troisième sondage est positif. Calculer la probabilité que le second l'est été aussi.

2) 𝑛désigne un entier , 𝑛 ⩾ 2.

a) Compléter l'arbre ci-dessous :

V

_𝑛+1

V

_𝑛

V

_𝑛+1

̅̅̅̅̅̅̅

V

_𝑛+1

V

_𝑛

̅̅̅̅

V

_𝑛+1

̅̅̅̅̅̅̅

b) Etablir que pour tout entier naturel 𝑛non nul, 𝑝

_𝑛+1

= 0,5𝑝

_𝑛

+ 0,1.

3) On note 𝑢la suite définie, pour tout entier naturel 𝑛non nul par 𝑢

_𝑛

= 𝑝

_𝑛

− 0,2.

a) Démontrer que 𝑢est une suite géométrique.

b) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛non nul, 𝑝

_𝑛

= 0,8 × 0,5

^𝑛−1

+ 0,2.

c) Calculer la limite de (𝑝

_𝑛

). Interpréter.

Soit (𝑣

_𝑛

)la suite définie par 𝑣

₀

= 4et 𝑣

_𝑛+1

= 3𝑣

_𝑛²

+ 𝑣

_𝑛

pour 𝑛∈ ℕ . 1) a) Montrer que (𝑣

_𝑛

)est croissante.

b) En déduire que (𝑣

_𝑛

)est minorée par 4.

2) En raisonnant par l’absurde, montrer que (𝑣

_𝑛

)n'est pas majorée.

3) En déduire la limite de (𝑣

_𝑛

).

(3)

Classe : TS

CORRECTION DEVOIR EN CLASSE N°4

Exercice 2 :

1) La population croît de 5% par an c'est à dire qu'elle est multipliée par 1 +

⁵

100

= 1,05. Ainsi, pour tout entier 𝑛, 𝑣

_𝑛+1

= 1,05𝑣

_𝑛

donc (𝑣

_𝑛

)est une suite géométrique de raison 1,05.

Pour tout entier 𝑛, 𝑣

_𝑛

= 𝑣

₀

× 𝑞

^𝑛

= 12 × 1,05

^𝑛

. 2) 1,05>1 donc lim

𝑛→+∞

1,05

^𝑛

= +∞puis par limite de produit lim

𝑛→+∞

𝑣

_𝑛

= +∞.

Par définition de la limite, il existe donc un entier 𝑛

₀

tel que si 𝑛 ⩾ 𝑛

₀

alors 𝑢

_𝑛

⩾ 60000. Ce qui signifie qu' à partir de l'année 2016 + 𝑛

₀

la population dépasser les 60 000 individus. Ce modèle ne correspond donc pas aux contraintes du milieu naturel.

1) a) 𝛼 =

^−1,1−2,2

605

= 302,5.

𝑔 est un trinôme avec 𝑎 < 0donc g est strictement croissante sur ]–∞;302,5] et strictement décroissante sur [302,5;+∞[.

𝑔 est donc croissante sur [0; 60].

b) 𝑔(𝑥) = 𝑥 ssi −

^1,1

605

𝑥

²

+ 1,1𝑥 = 𝑥ssi −

^1,1

605

𝑥

²

+ 0,1𝑥 = 0ssi𝑥 (−

^1,1

605

𝑥 + 0,1) = 0 ssi 𝑥 = 0ou 𝑥 = 55

Les solutions sont 0 et 55.

2) On remarquera que 𝑢

_𝑛+1

= 𝑔(𝑢

_𝑛

).

a) 𝑢

₁

= 𝑔(𝑢

₀

) = 𝑔(12) =

³⁵⁵⁸

275

≈ 12,938.

En 2017, il y aura 12 938 individus dans la réserve.

b) Initialisation :

𝑢

₀

= 12 et 𝑢

₁

≈ 12,938donc 0 ⩽ 𝑢

₀

⩽ 𝑢

₁

⩽ 60donc la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons que la propriété est vraie au rang 𝑘(k ∈

ℕ

) c'est à dire que 0 ⩽ 𝑢

_𝑘

⩽ 𝑢

_𝑘+1

⩽ 60.

𝑔est croissante sur [0;60] donc 𝑔(0) ⩽ 𝑔(𝑢

_𝑘

) ⩽ 𝑔(𝑢

_𝑘+1

) ⩽ 𝑔(60).

Or, 𝑔(0) = 0et 𝑔(60) ≈ 59,45d'où : 0 ⩽ 𝑢

_𝑘+1

⩽ 𝑢

_𝑘+2

⩽ 𝑔(60) ⩽ 60.

La propriété est vraie au rang 𝑘 + 1.

Conclusion : Pour tout entier 𝑛0 ⩽ 𝑢

_𝑛

⩽ 𝑢

_𝑛+1

⩽ 60.

c) On en déduit que (𝑢

_𝑛

)est croissante et majorée donc elle converge.

d) D'aprés la question 1b), L=0 ou L=55.

Si L=0 alors pour tout entier 𝑛, comme (𝑢

_𝑛

)est croissante𝑢

_𝑛

⩽ 0. Contradiction avec 0 ⩽ 𝑢

_𝑛

. Donc L≠0. On en déduit donc que L=55.

(𝑢

_𝑛

)converge vers 55. Dans un grand nombre d'années, le population de la réserve sera très proche de 55 000.

Exercice 1 :

1) D’après la formule des probabilités totales : 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(A ̅ ∩ B).

A et B étant indépendants, on aP(A ∩ B) = P(A) × P(B) d'où 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) + 𝑃(A ̅ ∩ B).

Ainsi, 𝑃(A ̅ ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵)(1 − 𝑃(𝐴)) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(A ̅)

(4)

Ceci prouve que A ̅ et B sont indépendants.

2) On considère les événements : C : « le téléphone clients sonne » et F : « le téléphone fournisseur sonne ». D’après l'énoncé : P(C) = 0,4 et P(F) = 0,75 et C et F sont indépendants.

a) On cherche 𝑃(𝐶 ∩ F ̅). C et F sont indépendants donc C et F ̅ le sont aussi.

D'où 𝑃(𝐶 ∩ F ̅) = P(C) × P(F ̅) = 0,4 × (1 − 0,75) = 0,1.

La probabilité que, durant sa première heure de travail la secrétaire ait décroché uniquement le téléphone

« clients » est 0,1.

b) On cherche 𝑃(C ̅ ∩ F ̅). C et F sont indépendants donc C ̅ et F ̅ le sont aussi.

D'où 𝑃(C ̅ ∩ F ̅) = P(C ̅) × P(F ̅) = (1 − 0,4) × (1 − 0,75) = 0,15.

La probabilité que, durant sa première heure de travail la secrétaire ne soit pas dérangée par le téléphone est 0,15.

Exercice 3 :

1) 𝑓(2i) = −8i + (1 + 2i) × 4 + (1 + 2i) × 2i − 2i = −8i + 4 + 8i + 2i − 4 − 2i = 0 2) Soit 𝑧un complexe.

𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧

³

+ 𝑏𝑧

²

+ 𝑐𝑧 − 2i𝑎𝑧

²

− 2𝑏𝑖𝑧 − 2i𝑐 = 𝑎𝑧

³

+ (𝑏 − 2i𝑎)𝑧

²

+ (𝑐 − 2𝑏i)𝑧 − 2i𝑐.

Or, 𝑓(𝑧) = 𝑧

³

– (1 + 2i)𝑧

²

+ (1 + 2i)𝑧– 2i, par identification : {

𝑎 = 1 𝑏 − 2i𝑎 = −1 − 2i

𝑐 − 2𝑏i = 1 + 2i

−2i𝑐 = −2i

; {

𝑎 = 1 𝑏 = −1

𝑐 = 1

Pour tout complexe 𝑧: 𝑓(𝑧) = (𝑧– 2i)(𝑧

²

− 𝑧 + 1).

3) 𝑓(𝑧) = 0⇔

𝑧 − 2i

= 0ou 𝑧

²

− 𝑧 + 1 = 0 𝑧

²

− 𝑧 + 1: = -3 <0 2 racines complexes 𝑧

₁

=

^1+i√3

2

et 𝑧

₂

=

^1−i√3

2

. S= { 2i ; 𝑧

₁

; 𝑧

₂

}.

Exercice 5 :

1) a) Soit 𝑛un entier.

𝑣

_𝑛+1

− 𝑣

_𝑛

= 3𝑣

_𝑛²

+ 𝑣

_𝑛

− 𝑣

_𝑛

= 3𝑣

_𝑛²

> 0Donc (𝑣

_𝑛

)est croissante.

b) (𝑣

_𝑛

)est croissante donc pour tout entier 𝑛, 𝑣

_𝑛

⩾ 𝑣

₀

donc (𝑣

_𝑛

)est minorée par 4.

2) Supposons que (𝑣

_𝑛

)est majorée.

(𝑣

_𝑛

)est croissante et majorée donc elle converge. On note L sa limite.

Posons 𝑓(𝑥) = 3𝑥

²

+ 𝑥pour 𝑥réel.

On a : * 𝑢

_𝑛+1

= 𝑓(𝑢

_𝑛

)pour tout entier 𝑛 * (𝑢

_𝑛

)converge vers L

* 𝑓est continue sur ℝ donc en L donc 𝑓(L) = L

L = 3L

²

+ L⇔

3L²

= 0⇔

L

= 0 Pour tout entier 𝑛, 𝑣

_𝑛

⩾ 4donc L ⩾ 4.

L=0 et L ⩾ 4contradiction donc (𝑣

_𝑛

)n'est pas majorée.

3) (𝑣

_𝑛

)est croissante et non majorée donc elle admet +∞pour limite.

Exercice 4 :

1) a)

0,6 V

₃

V

₂

1 0,6 0,4 V ̅̅̅̅

₃

(5)

V

₁

0,4 0,1 V

₃

V

₂

̅̅̅̅

0,9 V ̅̅̅̅

₃

b) P(V

₂

∩ V

₃

) = P(V

₂

) × P

_V₂

(V

₃

) = 0,6 × 0,6 = 0,36.

La probabilité que les 2ème et 3ème sondages soient positifs est 0,36.

c) 𝑝

₃

= P(V

₃

) = P(V

₂

∩ V

₃

) + P(V ̅̅̅̅ ∩

₂

V

₃

) = 0,36 + P(V ̅̅̅̅) ×

₂

P

_V̅̅̅̅₂

(V

₃

) = 0,36 + 0,4 × 0,1 = 0,4 La probabilité 𝑝

₃

pour que le 3ème sondage soit positif est 0,4.

d) P

_V₃

(V

₂

) =

^P(V_P(V³^∩V²⁾

3)

=

^0,36

0,4

= 0,9. La probabilité que le second l'est été aussi est 0,9.

2) a)

0,6 V

_𝑛+1

𝑝

_𝑛

V

_𝑛

0,4 V ̅̅̅̅̅̅̅

_𝑛+1

0,1 V

_𝑛+1

1 − 𝑝

_𝑛

V ̅̅̅̅

_𝑛

0,9 V ̅̅̅̅̅̅̅

_𝑛+1

b) Soit 𝑛un entier non nul. 𝑝

_𝑛+1

= P(V

_𝑛

∩ V

_𝑛+1

) + P(V ̅̅̅̅ ∩

_𝑛

V

_𝑛+1

) = P(V

_𝑛

) × P

_V_𝑛

(V

_𝑛+1

) + P(V ̅̅̅̅) ×

_𝑛

P

̅̅̅̅_V_𝑛

(V

_𝑛+1

)

𝑝

_𝑛+1

= 𝑝

_𝑛

× 0,6 + (1 − 𝑝

_𝑛

) × 0,1 = 0,6𝑝

_𝑛

+ 0,1 − 0,1𝑝

_𝑛

= 0,5𝑝

_𝑛

+ 0,1.

3) a) Soit 𝑛un entier non nul.

𝑢

_𝑛+1

= 𝑝

_𝑛+1

− 0,2 = 0,5𝑝

_𝑛

+ 0,1 − 0,2 = 0,5 (𝑝

_𝑛

− 0,1

0,5 ) = 0,5(𝑝

_𝑛

− 0,2) = 0,5𝑢

_𝑛

donc 𝑢est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 𝑢

₁

= 𝑝

₁

− 0,2 = 0,8.

b) Soit 𝑛un entier non nul. 𝑢

_𝑛

= 𝑢

₁

× 𝑞

^𝑛−1

= 0,8 × 0,5

^𝑛−1

. De 𝑢

_𝑛

= 𝑝

_𝑛

− 0,2, on déduit 𝑝

_𝑛

= 𝑢

_𝑛

+ 0,2 = 0,8 × 0,5

^𝑛−1

+ 0,2 c) -1<0,5<1 donc lim

𝑛→+∞

0,5

^𝑛−1

= 0puis par produit et somme de limite lim

𝑛→+∞

𝑝

_𝑛

= 0,2

Au bout d'un très grand nombre de sondages, la probabilité qu'un sondage soit positif est de 0,2.

(6)

Nom/Prénom : ... Jeudi 23 décembre 2017 Classe : TS